Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 236 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 6\), знаменатель \(q = 4\), а сумма всех членов \(S_n = 2046\).
Дана геометрическая прогрессия с \(b_1 = 6\) и \(q = 4\). Сумма первых \(n\) членов равна \(S_n = 2046\).
Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\).
Подставляем значения:
\(2046 = 6 \cdot \frac{4^n — 1}{4 — 1} = 6 \cdot \frac{4^n — 1}{3}\).
Умножаем обе части на 3:
\(2046 \cdot 3 = 6 (4^n — 1)\),
\(6138 = 6 \cdot 4^n — 6\).
Прибавляем 6 к обеим частям:
\(6138 + 6 = 6 \cdot 4^n\),
\(6144 = 6 \cdot 4^n\).
Делим на 6:
\(1024 = 4^n\).
Поскольку \(1024 = 4^5\), то
\(n = 5\).
Ответ: \(5\).
1. В условии задачи дана геометрическая прогрессия с первым членом \(y_1 = 6\) и знаменателем прогрессии \(q = 4\). Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. В нашем случае, чтобы найти сумму первых \(n\) членов, необходимо использовать формулу суммы геометрической прогрессии, так как сумма учитывает все члены от первого до \(n\)-го включительно.
2. Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии записывается как \(S_n = y_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). В этой формуле \(y_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель, а \(n\) — количество членов, сумму которых нужно найти. Подставляя в формулу известные значения \(y_1 = 6\), \(q = 4\) и \(S_n = 2046\), получаем уравнение \(2046 = 6 \cdot \frac{4^n — 1}{4 — 1}\). Здесь знаменатель \(4 — 1 = 3\) — это разность между знаменателем и единицей, которая стоит в формуле для суммы прогрессии.
3. Чтобы решить уравнение, сначала избавимся от дроби, умножив обе части на 3: \(2046 \cdot 3 = 6 (4^n — 1)\). Вычисляем левую часть: \(2046 \cdot 3 = 6138\), тогда уравнение принимает вид \(6138 = 6 \cdot 4^n — 6\). Чтобы упростить уравнение, прибавляем 6 к обеим частям: \(6138 + 6 = 6 \cdot 4^n\), что даёт \(6144 = 6 \cdot 4^n\). Делим обе части на 6, чтобы изолировать степень с основанием 4: \(\frac{6144}{6} = 4^n\), отсюда \(1024 = 4^n\). Зная, что \(1024 = 4^5\), делаем вывод, что \(n = 5\).
Ответ: 5.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.