Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 237 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Разность пятого и третьего членов геометрической прогрессии равна 1200, а разность пятого и четвёртого членов равна 1000. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
Дано: \(b_5 — b_3 = 1200\), \(b_5 — b_4 = 1000\).
Обозначим первый член прогрессии \(b_1\), знаменатель \(q\).
Тогда:
\(b_5 = b_1 q^4\),
\(b_4 = b_1 q^3\),
\(b_3 = b_1 q^2\).
Из уравнений:
\(b_1 (q^4 — q^2) = 1200\),
\(b_1 (q^4 — q^3) = 1000\).
Отсюда:
\(\frac{1200}{q^4 — q^2} = \frac{1000}{q^4 — q^3}\).
Умножим обе части на \((q^4 — q^2)(q^4 — q^3)\):
\(1200 (q^4 — q^3) = 1000 (q^4 — q^2)\).
Раскроем скобки:
\(1200 q^4 — 1200 q^3 = 1000 q^4 — 1000 q^2\).
Перенесём всё в одну сторону:
\(1200 q^4 — 1200 q^3 — 1000 q^4 + 1000 q^2 = 0\),
\(200 q^4 — 1200 q^3 + 1000 q^2 = 0\).
Разделим на 200:
\(q^4 — 6 q^3 + 5 q^2 = 0\).
Вынесем \(q^2\) за скобки:
\(q^2 (q^2 — 6 q + 5) = 0\).
Решаем квадратное уравнение:
\(q^2 — 6 q + 5 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 36 — 20 = 16\).
Корни:
\(q = \frac{6 \pm 4}{2}\),
\(q_1 = 1\), \(q_2 = 5\).
Знаменатель не может быть 0 или 1, значит \(q = 5\).
Подставим \(q = 5\) в первое уравнение:
\(b_1 = \frac{1200}{5^4 — 5^2} = \frac{1200}{625 — 25} = \frac{1200}{600} = 2\).
Сумма пяти первых членов:
\(S_5 = b_1 \frac{q^5 — 1}{q — 1} = 2 \frac{5^5 — 1}{5 — 1} = 2 \frac{3125 — 1}{4} = 2 \cdot \frac{3124}{4} = 2 \cdot 781 = 1562\).
Ответ: \(1562\).
1) Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\). Из условия:
\(b_5 — b_3 = 1200\),
\(b_5 — b_4 = 1000\).
2) Формулы для членов прогрессии через первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\):
\(b_5 = b_1 q^{4}\),
\(b_3 = b_1 q^{2}\),
\(b_4 = b_1 q^{3}\).
3) Подставим в первое уравнение:
\(b_5 — b_3 = b_1 q^{4} — b_1 q^{2} = b_1 (q^{4} — q^{2}) = 1200\).
Отсюда выразим \(b_1\):
\(b_1 = \frac{1200}{q^{4} — q^{2}}\).
4) Подставим во второе уравнение:
\(b_5 — b_4 = b_1 q^{4} — b_1 q^{3} = b_1 (q^{4} — q^{3}) = 1000\).
Выразим \(b_1\) отсюда:
\(b_1 = \frac{1000}{q^{4} — q^{3}}\).
5) Приравняем два выражения для \(b_1\):
\(\frac{1200}{q^{4} — q^{2}} = \frac{1000}{q^{4} — q^{3}}\).
Умножим обе части на \((q^{4} — q^{2})(q^{4} — q^{3})\):
\(1200 (q^{4} — q^{3}) = 1000 (q^{4} — q^{2})\).
6) Раскроем скобки:
\(1200 q^{4} — 1200 q^{3} = 1000 q^{4} — 1000 q^{2}\).
Перенесём все в одну сторону:
\(1200 q^{4} — 1200 q^{3} — 1000 q^{4} + 1000 q^{2} = 0\).
Упростим:
\(200 q^{4} — 1200 q^{3} + 1000 q^{2} = 0\).
Разделим на 200:
\(q^{4} — 6 q^{3} + 5 q^{2} = 0\).
7) Вынесем \(q^{2}\) за скобки:
\(q^{2} (q^{2} — 6 q + 5) = 0\).
Решаем квадратное уравнение:
\(q^{2} — 6 q + 5 = 0\).
8) Найдём дискриминант:
\(D = (-6)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\).
Корни:
\(q = \frac{6 \pm 4}{2}\),
\(q_1 = 1\),
\(q_2 = 5\).
9) Знаменатель не может быть равен 0 или 1, значит:
\(q = 5\).
Подставим в выражение для \(b_1\):
\(b_1 = \frac{1200}{5^{4} — 5^{2}} = \frac{1200}{625 — 25} = \frac{1200}{600} = 2\).
10) Сумма пяти первых членов прогрессии:
\(S_5 = b_1 \frac{q^{5} — 1}{q — 1} = 2 \frac{5^{5} — 1}{5 — 1} = 2 \frac{3125 — 1}{4} = 2 \cdot \frac{3124}{4} = 2 \cdot 781 = 1562\).
Ответ: 1562.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.