ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 238 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии \((c_n)\), если \(c_6 — c_4 = 135\), \(c_6 — c_5 = 81\), а сумма всех членов \(S_n = 665\).

1) Формулы данных членов прогрессии:
\( c_6 = c_1 \cdot q^{6-1} = c_1 \cdot q^5 \);
\( c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3 \);
\( c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4 \).

2) Из первого уравнения:
\( c_6 — c_4 = 135 \);
\( c_1 \cdot q^5 — c_1 \cdot q^3 = 135 \);
\( c_1 (q^5 — q^3) = 135 \);
\( c_1 = \frac{135}{q^5 — q^3} \).

3) Из второго уравнения:
\( c_6 — c_5 = 81 \);
\( c_1 \cdot q^5 — c_1 \cdot q^4 = 81 \);
\( c_1 (q^5 — q^4) = 81 \);
\( c_1 = \frac{81}{q^5 — q^4} \).

4) Приравниваем значения \( c_1 \):
\(\frac{135}{q^5 — q^3} = \frac{81}{q^5 — q^4}\);
Домножим на знаменатели:
\(135 (q^5 — q^4) = 81 (q^5 — q^3)\);
Раскроем скобки:
\(135 q^5 — 135 q^4 = 81 q^5 — 81 q^3\);
Переносим все в одну сторону:
\(135 q^5 — 135 q^4 — 81 q^5 + 81 q^3 = 0\);
Сгруппируем:
\((135 — 81) q^5 — 135 q^4 + 81 q^3 = 0\);
\(54 q^5 — 135 q^4 + 81 q^3 = 0\);
Вынесем \(q^3\):
\(q^3 (54 q^2 — 135 q + 81) = 0\);
Решаем квадратное уравнение:
\(54 q^2 — 135 q + 81 = 0\);
Поделим на 27:
\(2 q^2 — 5 q + 3 = 0\);
Дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1\);
Корни:
\(q_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\);
\(q_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).

5) Знаменатель не может быть равен 0 или 1, значит:
\(q = \frac{3}{2} = 1.5\);
Подставим \(q\) в формулу для \(c_1\):
\(c_1 = \frac{135}{\left(\frac{3}{2}\right)^5 — \left(\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{135}{\frac{243}{32} — \frac{27}{8}} = \frac{135}{\frac{243}{32} — \frac{108}{32}} = \frac{135}{\frac{135}{32}} = 32\).

6) Сумма \(n\) первых членов прогрессии:
\(S_n = \frac{c_1 (q^n — 1)}{q — 1} = 665\);
Подставим значения:
\(\frac{32 \left( \left(\frac{3}{2}\right)^n — 1 \right)}{\frac{3}{2} — 1} = 665\);
Знаменатель:
\(\frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2}\);
Умножим обе части на \(\frac{1}{2}\):
\(32 \cdot 2 \left( \left(\frac{3}{2}\right)^n — 1 \right) = 665\);
\(64 \left( \left(\frac{3}{2}\right)^n — 1 \right) = 665\);
Раскроем скобки:
\(64 \left(\frac{3}{2}\right)^n — 64 = 665\);
\(64 \left(\frac{3}{2}\right)^n = 729\);
Делим:
\(\left(\frac{3}{2}\right)^n = \frac{729}{64}\);
\(729 = 3^6\), \(64 = 2^6\), значит:
\(\left(\frac{3}{2}\right)^n = \left(\frac{3}{2}\right)^6\);
Отсюда:
\(n = 6\).

Ответ:
\(c_1 = 32\);
\(q = \frac{3}{2}\);
\(n = 6\).

1) Рассмотрим формулы для членов геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как \(c_1\), знаменатель прогрессии как \(q\), а номер члена — как \(n\). Тогда любой член прогрессии можно выразить формулой \(c_n = c_1 \cdot q^{n-1}\). В частности, для членов с номерами 6, 4 и 5 запишем:
\(c_6 = c_1 \cdot q^{5}\),
\(c_4 = c_1 \cdot q^{3}\),
\(c_5 = c_1 \cdot q^{4}\).
Эти выражения позволят нам составить уравнения на основе данных условий задачи.

2) По условию нам даны разности: \(c_6 — c_4 = 135\) и \(c_6 — c_5 = 81\). Подставим выражения через \(c_1\) и \(q\):
\(c_1 \cdot q^{5} — c_1 \cdot q^{3} = 135\),
\(c_1 \cdot q^{5} — c_1 \cdot q^{4} = 81\).
Вынесем общий множитель \(c_1\) в каждом уравнении:
\(c_1 (q^{5} — q^{3}) = 135\),
\(c_1 (q^{5} — q^{4}) = 81\).
Далее выразим \(c_1\) из каждого уравнения:
\(c_1 = \frac{135}{q^{5} — q^{3}}\),
\(c_1 = \frac{81}{q^{5} — q^{4}}\).
Приравняв эти выражения, получаем уравнение для \(q\).

3) Приравниваем:
\(\frac{135}{q^{5} — q^{3}} = \frac{81}{q^{5} — q^{4}}\).
Перемножим крест-накрест:
\(135 (q^{5} — q^{4}) = 81 (q^{5} — q^{3})\).
Раскроем скобки:
\(135 q^{5} — 135 q^{4} = 81 q^{5} — 81 q^{3}\).
Перенесём все слагаемые в левую часть:
\(135 q^{5} — 135 q^{4} — 81 q^{5} + 81 q^{3} = 0\).
Сгруппируем похожие члены:
\((135 — 81) q^{5} — 135 q^{4} + 81 q^{3} = 0\),
\(54 q^{5} — 135 q^{4} + 81 q^{3} = 0\).
Вынесем общий множитель \(q^{3}\):
\(q^{3} (54 q^{2} — 135 q + 81) = 0\).
Поскольку \(q \neq 0\), решаем квадратное уравнение:
\(54 q^{2} — 135 q + 81 = 0\).
Разделим обе части на 27:
\(2 q^{2} — 5 q + 3 = 0\).

4) Найдём дискриминант:
\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1\).
Корни уравнения:
\(q_{1} = \frac{5 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\),
\(q_{2} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).
Знаменатель прогрессии не может равняться 1, иначе прогрессия не была бы геометрической, значит \(q = \frac{3}{2}\).

5) Подставим найденное значение \(q\) в формулу для \(c_1\):
\(c_1 = \frac{135}{\left(\frac{3}{2}\right)^{5} — \left(\frac{3}{2}\right)^{3}} = \frac{135}{\frac{243}{32} — \frac{27}{8}} = \frac{135}{\frac{243}{32} — \frac{108}{32}} = \frac{135}{\frac{135}{32}} = 32\).
Таким образом, первый член прогрессии равен 32.

6) Для определения количества членов \(n\), сумма которых равна 665, используем формулу суммы геометрической прогрессии:
\(S_n = \frac{c_1 (q^{n} — 1)}{q — 1} = 665\).
Подставим найденные значения:
\(\frac{32 \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{n} — 1\right)}{\frac{3}{2} — 1} = 665\).
Вычислим знаменатель:
\(\frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2}\).
Умножим обе части уравнения на \(\frac{1}{2}\):
\(32 \cdot 2 \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{n} — 1\right) = 665\),
\(64 \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{n} — 1\right) = 665\).
Раскроем скобки:
\(64 \left(\frac{3}{2}\right)^{n} — 64 = 665\),
\(64 \left(\frac{3}{2}\right)^{n} = 729\),
\(\left(\frac{3}{2}\right)^{n} = \frac{729}{64}\).
Так как \(729 = 3^{6}\) и \(64 = 2^{6}\), получаем:
\(\left(\frac{3}{2}\right)^{n} = \left(\frac{3}{2}\right)^{6}\),
откуда \(n = 6\).

Ответ:
\(c_1 = 32\),
\(q = \frac{3}{2}\),
\(n = 6\).