Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 239 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) 36, 20, \(11\frac{1}{9}\), … ;
2) 21, \(3\sqrt{7}\), 3, … .
1) \( b_1 = 36, \quad b_2 = 20, \quad q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} \)
Сумма бесконечной прогрессии:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{36}{1 — \frac{5}{9}} = \frac{36}{\frac{4}{9}} = 36 \cdot \frac{9}{4} = 81 \)
Ответ: 81
2) \( b_1 = 21, \quad b_2 = 3\sqrt{7}, \quad q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3\sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{7} \)
Сумма бесконечной прогрессии:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{21}{1 — \frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{21}{\frac{7 — \sqrt{7}}{7}} = 21 \cdot \frac{7}{7 — \sqrt{7}} = \frac{147}{7 — \sqrt{7}} \)
Домножим числитель и знаменатель на \(7 + \sqrt{7}\):
\( S = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{(7 — \sqrt{7})(7 + \sqrt{7})} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{49 — 7} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{42} = \frac{7(7 + \sqrt{7})}{2} = \frac{49 + 7\sqrt{7}}{2} \)
Ответ: \(\frac{49 + 7\sqrt{7}}{2}\)
1) Дана прогрессия: 36; 20; \(11 \frac{1}{9}\); …
Первый член \(b_1 = 36\), второй член \(b_2 = 20\).
Найдем знаменатель прогрессии \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}\).
Проверим, что прогрессия геометрическая, вычислим третий член:
\(b_3 = b_2 \cdot q = 20 \cdot \frac{5}{9} = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}\), совпадает с заданным.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q| < 1\) вычисляется по формуле:
\(S = \frac{b_1}{1 — q}\).
Подставим значения:
\(S = \frac{36}{1 — \frac{5}{9}} = \frac{36}{\frac{4}{9}} = 36 \cdot \frac{9}{4} = 81\).
Ответ: 81.
2) Дана прогрессия: 21; \(3\sqrt{7}\); 3; …
Первый член \(b_1 = 21\), второй член \(b_2 = 3\sqrt{7}\).
Найдем знаменатель прогрессии \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3\sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{7}\).
Проверим третий член:
\(b_3 = b_2 \cdot q = 3\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = 3 \cdot \frac{7}{7} = 3\), совпадает с заданным.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q| < 1\) вычисляется по формуле:
\(S = \frac{b_1}{1 — q}\).
Подставим значения:
\(S = \frac{21}{1 — \frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{21}{\frac{7 — \sqrt{7}}{7}} = 21 \cdot \frac{7}{7 — \sqrt{7}} = \frac{147}{7 — \sqrt{7}}\).
Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(7 + \sqrt{7}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
\(S = \frac{147 (7 + \sqrt{7})}{(7 — \sqrt{7})(7 + \sqrt{7})} = \frac{147 (7 + \sqrt{7})}{49 — 7} = \frac{147 (7 + \sqrt{7})}{42}\).
Сократим дробь:
\(S = \frac{7 (7 + \sqrt{7})}{2} = \frac{49 + 7 \sqrt{7}}{2}\).
Ответ: \(\frac{49 + 7 \sqrt{7}}{2}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.