ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 24 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(7x > 14\); 7) \(1\frac{2}{x} < -\frac{22}{2}\);

2) \(-3x \ge 12\); 8) \(2x > 18 x\);

3) \(\frac{1}{x} > -2\); 9) \(7x + 3 \le 30-2x\);

4) \(0,1x \le -5\); 10) \(7-2x < 3x 18\);

5) \(4,7x > 0\); 11) \(5,4 1,5x \ge 0,3x 3,6\);

6) \(-2x \le 0\); 12) \(\frac{x}{3} +15< \frac{1}{x} + 10\).

Ответы на неравенства:

1) 7x > 14; x > \(\frac{14}{7}\); x > 2; Ответ: x ∈ (2; +∞).
2) -3x ≥ 12; x ≤ \(\frac{-12}{-3}\); x ≤ -4; Ответ: x ∈ (-∞; -4].
3) \(\frac{1}{3}\)x > -2; x > -2·3; x > -6; Ответ: x ∈ (-6; +∞).
4) 0,1x ≤ -5; x ≤ -5·10; x ≤ -50; Ответ: x ∈ (-∞; -50].
5) 4,7x > 0; x > \(\frac{0}{4,7}\); x > 0; Ответ: x ∈ (0; +∞).
6) -2x ≤ 0; x ≥ \(\frac{0}{-2}\); x ≥ 0; Ответ: x ∈ [0; +∞).
7) \(\frac{3}{4}\)x < -\(\frac{1}{3}\); \(\frac{4+3}{4}\) x < \(\frac{-2·3+1}{3}\); \(\frac{7}{4}\) x < -\(\frac{7}{3}\); x < -\(\frac{7·4}{3·7}\); x < -\(\frac{4}{3}\); Ответ: x ∈ (-∞; -\(\frac{4}{3}\)).
8) 2x > 18 -x; 2x + x > 18; 3x > 18; x > \(\frac{18}{3}\); x > 6; Ответ: x ∈ (6; +∞).
9) 7x + 3 ≤ 30 — 2x; 7x + 2x ≤ 30 — 3; 9x ≤ 27; x ≤ \(\frac{27}{9}\); x ≤ \(\frac{3}{1}\); Ответ: x ∈ (-∞; 3].
10) 7 — 2x < 3x — 18; -2x — 3x < -18 — 7; -5x < -25; x > -\(\frac{25}{5}\); x > 5; Ответ: x ∈ (5; +∞).
11) 5,4 — 1,5x ≥ 0,3x — 3,6; -1,5x — 0,3x ≥ -3,6 — 5,4; -1,8x ≥ -9; x ≥ -\(\frac{9}{1,8}\); x ≤ 5; Ответ: x ∈ (-∞; 5].
12) \(\frac{3}{8}\)x + 15 < \(\frac{1}{6}\)x + 10; \(\frac{3}{8}\)x — \(\frac{1}{6}\)x < 10 — 15; \(\frac{18}{48}\)x — \(\frac{8}{48}\)x < -5; \(\frac{10}{48}\)x < -5; x < -\(\frac{5·48}{10}\); x < -24; Ответ: x ∈ (-∞; -24).

1) Рассмотрим неравенство \(7x > 14\). Для начала нам нужно найти все значения \(x\), которые удовлетворяют этому условию. Это линейное неравенство, и его решение заключается в изолировании переменной \(x\) на одной стороне. Поскольку коэффициент при \(x\) положительный, знак неравенства при делении или умножении на число не изменится. Мы можем приступить к упрощению выражения, чтобы определить диапазон значений \(x\).

Давайте разделим обе части неравенства на \(7\), чтобы избавиться от коэффициента перед \(x\). Получаем \(x > \frac{14}{7}\). Теперь упростим дробь: \(\frac{14}{7} = 2\), следовательно, неравенство принимает вид \(x > 2\). Это означает, что все значения \(x\), которые больше \(2\), удовлетворяют исходному неравенству. Важно понимать, что точка \(x = 2\) не входит в решение, так как неравенство строгое (знак больше, а не больше или равно). Таким образом, интервал решений начинается сразу после \(2\) и уходит в бесконечность.

Запишем ответ в виде интервала. Решение неравенства \(7x > 14\) — это все \(x\), принадлежащие интервалу \((2; +\infty)\). Этот интервал означает, что \(x\) может принимать любое значение больше \(2\), но не включая саму точку \(2\). Если мы подставим, например, \(x = 3\), то \(7 \cdot 3 = 21\), что больше \(14\), и условие выполняется. А если взять \(x = 2\), то \(7 \cdot 2 = 14\), что не удовлетворяет условию строгого неравенства. Ответ: \(x \in (2; +\infty)\).

2) Перейдем к неравенству \(-3x \geq 12\). Наша цель — определить все значения \(x\), при которых это выражение истинно. Это также линейное неравенство, но здесь коэффициент при \(x\) отрицательный, что требует особого внимания при делении или умножении, так как знак неравенства в таких случаях меняется. Мы будем изолировать \(x\), чтобы понять, какие значения подходят.

Разделим обе части неравенства на \(-3\). Поскольку делим на отрицательное число, знак неравенства меняется с \(\geq\) на \(\leq\). Получаем \(x \leq \frac{12}{-3}\). Вычислим значение: \(\frac{12}{-3} = -4\), так что неравенство теперь выглядит как \(x \leq -4\). Это означает, что все значения \(x\), которые меньше или равны \(-4\), удовлетворяют исходному неравенству. Точка \(x = -4\) включается в решение, так как неравенство нестрогое (знак \(\geq\) в исходном выражении).

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые меньше или равны \(-4\), составляют интервал \((-\infty; -4]\). Этот интервал начинается с отрицательной бесконечности и заканчивается в точке \(-4\), включая её. Например, если взять \(x = -5\), то \(-3 \cdot (-5) = 15\), что больше \(12\), и условие выполняется. Если взять \(x = -4\), то \(-3 \cdot (-4) = 12\), что равно \(12\), и это тоже подходит из-за знака \(\geq\). Ответ: \(x \in (-\infty; -4]\).

3) Рассмотрим неравенство \(\frac{1}{3}x > -2\). Здесь перед нами неравенство с дробным коэффициентом при \(x\), и наша задача — найти все значения \(x\), которые делают это выражение истинным. Это линейное неравенство, и для его решения нужно изолировать переменную \(x\). Поскольку коэффициент положительный, знак неравенства при умножении или делении не изменится.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на \(3\). Получаем \(x > -2 \cdot 3\). Вычислим правую часть: \(-2 \cdot 3 = -6\), так что неравенство принимает вид \(x > -6\). Это означает, что все значения \(x\), которые больше \(-6\), удовлетворяют условию. Точка \(x = -6\) не включается в решение, так как неравенство строгое (знак больше, а не больше или равно). Таким образом, интервал решений начинается сразу после \(-6\).

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые больше \(-6\), составляют интервал \((-6; +\infty)\). Этот интервал начинается сразу после \(-6\) и уходит в положительную бесконечность. Например, если взять \(x = -5\), то \(\frac{1}{3} \cdot (-5) = -\frac{5}{3}\), что больше \(-2\), и условие выполняется. Если взять \(x = -6\), то \(\frac{1}{3} \cdot (-6) = -2\), что не удовлетворяет строгому неравенству. Ответ: \(x \in (-6; +\infty)\).

4) Решаем неравенство \(0,1x \leq -5\). Наша цель — найти значения \(x\), которые удовлетворяют этому условию. Это линейное неравенство с десятичным коэффициентом, и для упрощения мы можем преобразовать его в более удобный вид. Поскольку коэффициент положительный, знак неравенства при умножении или делении не изменится.

Умножим обе части на \(10\), чтобы избавиться от десятичной дроби: \(x \leq -5 \cdot 10\). Вычислим правую часть: \(-5 \cdot 10 = -50\), так что неравенство принимает вид \(x \leq -50\). Это означает, что все значения \(x\), которые меньше или равны \(-50\), являются решением. Точка \(x = -50\) включается в решение, так как неравенство нестрогое (знак \(\leq\)).

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые меньше или равны \(-50\), составляют интервал \((-\infty; -50]\). Этот интервал начинается с отрицательной бесконечности и заканчивается в точке \(-50\), включая её. Например, если взять \(x = -51\), то \(0,1 \cdot (-51) = -5,1\), что меньше \(-5\), и условие выполняется. Если взять \(x = -50\), то \(0,1 \cdot (-50) = -5\), что равно \(-5\), и это тоже подходит. Ответ: \(x \in (-\infty; -50]\).

5) Рассмотрим неравенство \(4,7x > 0\). Это простое линейное неравенство с десятичным коэффициентом, и наша задача — определить значения \(x\), которые делают его истинным. Поскольку правая часть равна нулю, решение будет зависеть от знака коэффициента при \(x\). Так как \(4,7\) — положительное число, знак неравенства при делении не изменится.

Разделим обе части на \(4,7\): \(x > \frac{0}{4,7}\). Очевидно, что \(\frac{0}{4,7} = 0\), так что неравенство упрощается до \(x > 0\). Это означает, что все положительные значения \(x\) удовлетворяют условию. Точка \(x = 0\) не включается, так как неравенство строгое (знак больше, а не больше или равно). Таким образом, интервал решений начинается сразу после \(0\).

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые больше \(0\), составляют интервал \((0; +\infty)\). Этот интервал начинается сразу после \(0\) и уходит в положительную бесконечность. Например, если взять \(x = 1\), то \(4,7 \cdot 1 = 4,7\), что больше \(0\), и условие выполняется. Если взять \(x = 0\), то \(4,7 \cdot 0 = 0\), что не удовлетворяет строгому неравенству. Ответ: \(x \in (0; +\infty)\).

6) Решаем неравенство \(-2x \leq 0\). Это простое линейное неравенство, где правая часть равна нулю, и наша цель — найти значения \(x\), которые удовлетворяют условию. Поскольку коэффициент при \(x\) отрицательный, нужно помнить, что при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Разделим обе части на \(-2\), не забывая изменить знак неравенства с \(\leq\) на \(\geq\): \(x \geq \frac{0}{-2}\). Очевидно, что \(\frac{0}{-2} = 0\), так что неравенство принимает вид \(x \geq 0\). Это означает, что все значения \(x\), которые больше или равны \(0\), являются решением. Точка \(x = 0\) включается, так как неравенство нестрогое.

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые больше или равны \(0\), составляют интервал \([0; +\infty)\). Этот интервал начинается с \(0\), включая эту точку, и уходит в положительную бесконечность. Например, если взять \(x = 1\), то \(-2 \cdot 1 = -2\), что меньше \(0\), но из-за знака неравенства это не подходит, а при \(x = 0\), \(-2 \cdot 0 = 0\), что равно \(0\), и условие выполняется. Ответ: \(x \in [0; +\infty)\).

7) Рассмотрим неравенство \(\frac{3}{4}x < -\frac{1}{3}\). Это неравенство с дробными коэффициентами, и наша задача — найти значения \(x\), которые делают его истинным. Для этого нужно изолировать переменную \(x\), избавившись от дробей. Поскольку коэффициент при \(x\) положительный, знак неравенства при умножении не изменится.

Умножим обе части на \(4\), чтобы убрать знаменатель в левой части: \(3x < -\frac{4}{3}\). Теперь разделим обе части на \(3\): \(x < -\frac{4}{9}\). Это означает, что все значения \(x\), которые меньше \(-\frac{4}{9}\), удовлетворяют условию. Точка \(x = -\frac{4}{9}\) не включается, так как неравенство строгое (знак меньше, а не меньше или равно).

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые меньше \(-\frac{4}{9}\), составляют интервал \((-\infty; -\frac{4}{9})\). Этот интервал начинается с отрицательной бесконечности и заканчивается сразу перед точкой \(-\frac{4}{9}\), не включая её. Например, если взять \(x = -1\), то \(\frac{3}{4} \cdot (-1) = -\frac{3}{4}\), что меньше \(-\frac{1}{3}\), и условие выполняется. Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{4}{9})\).

8) Решаем неравенство \(2x > 18 — x\). Наша цель — найти значения \(x\), которые удовлетворяют этому условию. Это линейное неравенство, где переменная \(x\) присутствует в обеих частях, поэтому первым шагом будет перенос всех слагаемых с \(x\) в одну сторону, чтобы изолировать переменную.

Перенесем \(-x\) в левую часть, прибавив \(x\) к обеим сторонам: \(2x + x > 18\). Сложим: \(3x > 18\). Теперь разделим обе части на \(3\): \(x > \frac{18}{3}\). Упростим: \(x > 6\). Это означает, что все значения \(x\), которые больше \(6\), являются решением. Точка \(x = 6\) не включается, так как неравенство строгое.

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые больше \(6\), составляют интервал \((6; +\infty)\). Этот интервал начинается сразу после \(6\) и уходит в положительную бесконечность. Например, если взять \(x = 7\), то \(2 \cdot 7 = 14\), а \(18 — 7 = 11\), и \(14 > 11\), условие выполняется. Если взять \(x = 6\), то \(2 \cdot 6 = 12\), а \(18 — 6 = 12\), и строгое неравенство не выполняется. Ответ: \(x \in (6; +\infty)\).

9) Рассмотрим неравенство \(7x + 3 \leq 30 — 2x\). Это линейное неравенство, где переменная \(x\) присутствует в обеих частях, а также есть свободные члены. Наша задача — изолировать \(x\), перенеся все слагаемые с \(x\) в одну сторону, а константы — в другую. Поскольку коэффициенты разные, нужно внимательно следить за знаками.

Перенесем \(-2x\) в левую часть, прибавив \(2x\) к обеим сторонам: \(7x + 2x + 3 \leq 30\). Сложим: \(9x + 3 \leq 30\). Теперь вычтем \(3\) из обеих частей, чтобы избавиться от константы слева: \(9x \leq 27\). Разделим обе части на \(9\): \(x \leq \frac{27}{9}\). Упростим: \(x \leq 3\). Это означает, что все значения \(x\), которые меньше или равны \(3\), являются решением.

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые меньше или равны \(3\), составляют интервал \((-\infty; 3]\). Этот интервал начинается с отрицательной бесконечности и заканчивается в точке \(3\), включая её. Например, если взять \(x = 3\), то \(7 \cdot 3 + 3 = 24\), а \(30 — 2 \cdot 3 = 24\), и \(24 \leq 24\) выполняется. Если взять \(x = 2\), то \(7 \cdot 2 + 3 = 17\), а \(30 — 2 \cdot 2 = 26\), и \(17 \leq 26\) тоже верно. Ответ: \(x \in (-\infty; 3]\).

10) Решаем неравенство \(7 — 2x < 3x — 18\). Это линейное неравенство с переменной \(x\) в обеих частях и свободными членами. Наша цель — изолировать \(x\), перенеся все слагаемые с \(x\) в одну сторону, а константы — в другую. Мы будем внимательно следить за знаками, чтобы не допустить ошибок при переносе.

Перенесем \(-2x\) в правую часть, а \(3x\) в левую, но проще перенести все \(x\) влево, а числа вправо. Вычтем \(3x\) из обеих частей: \(7 — 2x — 3x < -18\). Сложим: \(7 — 5x < -18\). Теперь вычтем \(7\) из обеих частей: \(-5x < -18 — 7\). Упростим: \(-5x < -25\). Разделим на \(-5\), не забывая изменить знак неравенства: \(x > \frac{-25}{-5}\). Упростим: \(x > 5\). Это означает, что все значения \(x\), которые больше \(5\), являются решением.

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые больше \(5\), составляют интервал \((5; +\infty)\). Этот интервал начинается сразу после \(5\) и уходит в положительную бесконечность. Например, если взять \(x = 6\), то \(7 — 2 \cdot 6 = -5\), а \(3 \cdot 6 — 18 = 0\), и \(-5 < 0\) выполняется. Если взять \(x = 5\), то \(7 — 2 \cdot 5 = -3\), а \(3 \cdot 5 — 18 = -3\), и строгое неравенство не выполняется. Ответ: \(x \in (5; +\infty)\).

11) Рассмотрим неравенство \(5,4 — 1,5x \geq 0,3x — 3,6\). Это линейное неравенство с десятичными коэффициентами, и наша задача — найти значения \(x\), которые удовлетворяют условию. Переменная \(x\) присутствует в обеих частях, поэтому нужно перенести все слагаемые с \(x\) в одну сторону, а константы — в другую. Мы будем работать с десятичными числами, следя за точностью вычислений.

Перенесем \(-1,5x\) в правую часть, а \(0,3x\) в левую, но проще перенести все \(x\) влево. Вычтем \(0,3x\) из обеих частей: \(5,4 — 1,5x — 0,3x \geq -3,6\). Сложим: \(5,4 — 1,8x \geq -3,6\). Теперь вычтем \(5,4\) из обеих частей: \(-1,8x \geq -3,6 — 5,4\). Упростим: \(-1,8x \geq -9\). Разделим на \(-1,8\), изменив знак неравенства: \(x \leq \frac{-9}{-1,8}\). Упростим: \(x \leq 5\). Это означает, что все значения \(x\), которые меньше или равны \(5\), являются решением.

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые меньше или равны \(5\), составляют интервал \((-\infty; 5]\). Этот интервал начинается с отрицательной бесконечности и заканчивается в точке \(5\), включая её. Например, если взять \(x = 5\), то \(5,4 — 1,5 \cdot 5 = -2,1\), а \(0,3 \cdot 5 — 3,6 = -2,1\), и \(-2,1 \geq -2,1\) выполняется. Если взять \(x = 4\), то \(5,4 — 1,5 \cdot 4 = -0,6\), а \(0,3 \cdot 4 — 3,6 = -2,4\), и \(-0,6 \geq -2,4\) тоже верно. Ответ: \(x \in (-\infty; 5]\).

12) Решаем неравенство \(\frac{3}{8}x + 15 < \frac{1}{6}x + 10\). Это неравенство с дробными коэффициентами, и наша цель — найти значения \(x\), которые удовлетворяют условию. Переменная \(x\) присутствует в обеих частях, поэтому нужно перенести слагаемые с \(x\) в одну сторону, а константы — в другую. Дробные коэффициенты требуют приведения к общему знаменателю или умножения на число, чтобы избавиться от дробей.

Перенесем \(\frac{1}{6}x\) в левую часть, вычтя его из обеих сторон: \(\frac{3}{8}x — \frac{1}{6}x + 15 < 10\). Теперь вычтем \(15\) из обеих частей: \(\frac{3}{8}x — \frac{1}{6}x < 10 — 15\). Упростим: \(\frac{3}{8}x — \frac{1}{6}x < -5\). Приведем дроби к общему знаменателю \(48\): \(\frac{3 \cdot 6}{8 \cdot 6}x — \frac{1 \cdot 8}{6 \cdot 8}x = \frac{18}{48}x — \frac{8}{48}x = \frac{10}{48}x\). Итак, \(\frac{10}{48}x < -5\). Умножим обе части на \(\frac{48}{10}\), чтобы изолировать \(x\): \(x < -5 \cdot \frac{48}{10}\). Упростим: \(x < -24\).

Запишем решение в виде интервала. Все значения \(x\), которые меньше \(-24\), составляют интервал \((-\infty; -24)\). Этот интервал начинается с отрицательной бесконечности и заканчивается сразу перед точкой \(-24\), не включая её. Например, если взять \(x = -25\), то \(\frac{3}{8} \cdot (-25) + 15 = \frac{-75}{8} + 15 = -9,375 + 15 = 5,625\), а \(\frac{1}{6} \cdot (-25) + 10 = \frac{-25}{6} + 10 = -4,166 + 10 = 5,834\), и \(5,625 < 5,834\) выполняется. Если взять \(x = -24\), то строгое неравенство не выполняется. Ответ: \(x \in (-\infty; -24)\).