ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 240 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,777… ; 3) 0,2555… ;

2) \(3,(27)\); 4) \(8,3(8)\).

1) \(0{,}777\ldots = \frac{7}{9}\)
2) \(3,(27) = 3 + \frac{27}{99} = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{3}{11} = \frac{36}{11}\)
3) \(0{,}2555\ldots = \frac{23}{90}\)
4) \(8,3(8) = 8 + \frac{7}{18} = \frac{151}{18}\)

1) Запишем число \(0{,}777 \ldots\) в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = 0{,}7 + 0{,}07 + 0{,}007 + \ldots\)
Первый член \(b_1 = 0{,}7\), второй член \(b_2 = 0{,}07\).
Найдем знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}07}{0{,}7} = 0{,}1\).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}7}{1 — 0{,}1} = \frac{0{,}7}{0{,}9} = \frac{7}{9}\).
Ответ: \(\frac{7}{9}\).

2) Запишем число \(3,(27)\) (то есть \(3{,}272727\ldots\)) в виде суммы:
\(S = 3 + 0{,}27 + 0{,}0027 + \ldots\)
Первый член \(b_1 = 0{,}27\), второй член \(b_2 = 0{,}0027\).
Знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}0027}{0{,}27} = 0{,}01\).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = 3 + \frac{b_1}{1 — q} = 3 + \frac{0{,}27}{1 — 0{,}01} = 3 + \frac{0{,}27}{0{,}99} = 3 + \frac{27}{99} = 3 + \frac{3}{11} = \frac{33}{11} + \frac{3}{11} = \frac{36}{11}\).
Ответ: \(\frac{36}{11}\).

3) Запишем число \(0{,}2555 \ldots\) в виде суммы:
\(S = 0{,}2 + 0{,}05 + 0{,}005 + \ldots\)
Первый член \(b_1 = 0{,}05\), второй член \(b_2 = 0{,}005\).
Знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}005}{0{,}05} = 0{,}1\).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = 0{,}2 + \frac{b_1}{1 — q} = 0{,}2 + \frac{0{,}05}{1 — 0{,}1} = 0{,}2 + \frac{0{,}05}{0{,}9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{18} = \frac{18}{90} + \frac{5}{90} = \frac{23}{90}\).
Ответ: \(\frac{23}{90}\).

4) Запишем число \(8,3(8)\) (то есть \(8{,}3888\ldots\)) в виде суммы:
\(S = 8{,}3 + 0{,}08 + 0{,}008 + \ldots\)
Первый член \(b_1 = 0{,}08\), второй член \(b_2 = 0{,}008\).
Знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}008}{0{,}08} = 0{,}1\).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = 8{,}3 + \frac{b_1}{1 — q} = 8{,}3 + \frac{0{,}08}{1 — 0{,}1} = 8{,}3 + \frac{0{,}08}{0{,}9} = 8 + \frac{3}{10} + \frac{8}{90}=\)
\( = 8 + \frac{27}{90} + \frac{8}{90} = 8 + \frac{35}{90} = 8 + \frac{7}{18} = \frac{144}{18} + \frac{7}{18} = \frac{151}{18}\).
Ответ: \(\frac{151}{18}\).