ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 241 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 75, а знаменатель равен \(\frac{4}{5}\).

Дана геометрическая прогрессия с знаменателем \( q = \frac{4}{5} \) и суммой \( S = 75 \).

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 — q} \).

Подставляем известные значения:
\( 75 = \frac{b_1}{1 — \frac{4}{5}} \).

Вычисляем знаменатель:
\( 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \).

Тогда:
\( 75 = \frac{b_1}{\frac{1}{5}} = b_1 \times 5 \).

Отсюда:
\( b_1 = \frac{75}{5} = 15 \).

Ответ: \( 15 \).

1. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию, у которой известен знаменатель прогрессии \( q = \frac{4}{5} \) и сумма всех её членов равна \( S = 75 \). Задача состоит в том, чтобы найти первый член этой прогрессии, обозначим его \( b_1 \). Для этого необходимо использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, которая справедлива при условии, что абсолютное значение знаменателя меньше единицы, то есть \( |q| < 1 \). В нашем случае \( q = \frac{4}{5} \), и это условие выполняется, так как \( \frac{4}{5} = 0,8 < 1 \). 2. Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии записывается как \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Здесь \( S \) — сумма всех членов прогрессии, \( b_1 \) — первый член, а \( q \) — знаменатель прогрессии. Данная формула позволяет выразить первый член через сумму и знаменатель, если сумма и знаменатель известны. Подставим в формулу наши данные: \( 75 = \frac{b_1}{1 - \frac{4}{5}} \). Следующий шаг — вычислить выражение в знаменателе дроби. 3. Вычислим \( 1 - \frac{4}{5} \). Чтобы вычесть дробь из целого числа, представим 1 как дробь с тем же знаменателем: \( 1 = \frac{5}{5} \). Тогда вычитание даёт \( \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{5 - 4}{5} = \frac{1}{5} \). Теперь уравнение принимает вид \( 75 = \frac{b_1}{\frac{1}{5}} \). Деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную, поэтому \( \frac{b_1}{\frac{1}{5}} = b_1 \times 5 \). Следовательно, уравнение упрощается до \( 75 = b_1 \times 5 \). 4. Чтобы найти \( b_1 \), разделим обе части уравнения на 5, получим \( b_1 = \frac{75}{5} \). Выполним деление: \( \frac{75}{5} = 15 \). Таким образом, первый член прогрессии равен 15. 5. Итог: при заданном знаменателе \( q = \frac{4}{5} \) и сумме бесконечной геометрической прогрессии \( S = 75 \) первый член прогрессии равен 15. Это значит, что последовательность начинается с числа 15, а каждый следующий член получается умножением предыдущего на \( \frac{4}{5} \).