ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 243 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_2 = 36\), \(b_4 = 16\).

Дано: \(b_2 = 36\), \(b_4 = 16\).

Найдем знаменатель прогрессии \(q\) по формуле:
\(b_3 = \pm \sqrt{b_2 \cdot b_4} = \pm \sqrt{36 \cdot 16} = \pm 24\).
Тогда
\(q = \frac{b_3}{b_2} = \pm \frac{24}{36} = \pm \frac{2}{3}\).

Первый член прогрессии:
\(b_1 = \frac{b_2}{q} = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54\) при \(q = \frac{2}{3}\),
или
\(b_1 = 36 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -54\) при \(q = -\frac{2}{3}\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует только при \(|q| < 1\), то есть оба варианта подходят. Сумма прогрессии: \(S = \frac{b_1}{1 - q}\). Для \(q = \frac{2}{3}\): \(S = \frac{54}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54}{\frac{1}{3}} = 162\). Для \(q = -\frac{2}{3}\): \(S = \frac{-54}{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{-54}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-54}{\frac{5}{3}} = -54 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{162}{5} = -32.4\). Ответ: \(162\) и \(-32.4\).

1) В геометрической прогрессии каждый член после первого получается умножением предыдущего члена на постоянный множитель, называемый знаменателем прогрессии \(q\). Известно, что второй член прогрессии равен \(b_2 = 36\), а четвёртый член \(b_4 = 16\). Чтобы найти знаменатель \(q\), используем формулу для общего члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Тогда \(b_2 = b_1 \cdot q\) и \(b_4 = b_1 \cdot q^3\). Разделим \(b_4\) на \(b_2\), чтобы избавиться от \(b_1\): \(\frac{b_4}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = q^2\). Подставим известные значения: \(\frac{16}{36} = q^2\), откуда \(q^2 = \frac{4}{9}\). Следовательно, \(q = \pm \frac{2}{3}\).

2) Теперь найдём первый член прогрессии \(b_1\). Из формулы \(b_2 = b_1 \cdot q\) выразим \(b_1\): \(b_1 = \frac{b_2}{q}\). При \(q = \frac{2}{3}\) имеем \(b_1 = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54\). При \(q = -\frac{2}{3}\) получаем \(b_1 = 36 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -54\). Таким образом, существует два возможных варианта прогрессии с разными знаками знаменателя и соответствующими первыми членами.

3) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии \(S\) используется формула \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), при условии, что \(|q| < 1\), что в нашем случае выполняется. Подставим значения для каждого варианта. При \(q = \frac{2}{3}\) сумма равна \(S = \frac{54}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54}{\frac{1}{3}} = 54 \cdot 3 = 162\). При \(q = -\frac{2}{3}\) сумма равна \(S = \frac{-54}{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{-54}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-54}{\frac{5}{3}} = -54 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{162}{5} = -32.4\). Таким образом, сумма прогрессии может принимать два значения: 162 и -32.4.