Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 244 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трёх её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Дано: сумма бесконечной геометрической прогрессии \(S = 27\), сумма трёх первых членов \(S_3 = 35\).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = 27\).
Отсюда \(b_1 = 27(1 — q)\).
Сумма трёх первых членов: \(S_3 = b_1 \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 35\).
Подставляем \(b_1\): \(27(1 — q) \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 35\).
Упрощая, получаем: \(-27(q^3 — 1) = 35\).
Отсюда \(q^3 — 1 = -\frac{35}{27}\), значит \(q^3 = -\frac{8}{27}\).
Следовательно, \(q = -\frac{2}{3}\).
Подставляем в \(b_1 = 27(1 — q) = 27 \left(1 + \frac{2}{3}\right) = 27 \cdot \frac{5}{3} = 45\).
Ответ: \(b_1 = 45\), \(q = -\frac{2}{3}\).
1) Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию, у которой сумма всех членов равна 27. Напомним, что сумма бесконечной геометрической прогрессии при условии \(|q| < 1\) вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 - q}\), где \(b_1\) — первый член прогрессии, а \(q\) — знаменатель прогрессии. Из условия задачи известно, что сумма равна 27, следовательно, можем записать уравнение \( \frac{b_1}{1 - q} = 27 \). Чтобы выразить первый член прогрессии, умножим обе части уравнения на \(1 - q\), получим \(b_1 = 27(1 - q)\). Это выражение связывает первый член и знаменатель прогрессии, но пока неизвестно значение \(q\). 2) Теперь обратимся к сумме первых трёх членов прогрессии, которая равна 35. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}\). Для трёх членов это будет \(S_3 = b_1 \frac{1 - q^3}{1 - q} = 35\). Подставим в это уравнение выражение для \(b_1\), которое мы нашли ранее: \(b_1 = 27(1 - q)\). Тогда уравнение принимает вид \(27(1 - q) \frac{1 - q^3}{1 - q} = 35\). Заметим, что в числителе и знаменателе дроби присутствует \(1 - q\), что позволяет сократить их, если \(q \neq 1\). После сокращения останется уравнение \(27(1 - q^3) = 35\). 3) Продолжим решать полученное уравнение. Распишем \(1 - q^3\) как \( (1 - q)(1 + q + q^2) \), но поскольку мы уже сократили на \(1 - q\), это не нужно. Перепишем уравнение: \(27(1 - q^3) = 35\), или \(1 - q^3 = \frac{35}{27}\). Отсюда выразим \(q^3\): \(q^3 = 1 - \frac{35}{27} = \frac{27}{27} - \frac{35}{27} = -\frac{8}{27}\). Теперь найдём \(q\), взяв кубический корень: \(q = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}\). Подставим найденное значение \(q\) обратно в формулу для первого члена: \(b_1 = 27(1 - (-\frac{2}{3})) = 27 \left(1 + \frac{2}{3}\right) = 27 \cdot \frac{5}{3} = 45\). Таким образом, первый член прогрессии равен 45, а знаменатель — \(-\frac{2}{3}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.