ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 26 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) \(2x+9>4x-7\);

2) \(14x^2 -(2x -3)(7x + 4) \le 14\);

3) \((3x +2)^2 -(9x-1)(x +1) \ge 17\);

4) \((x-1)(x+1) < 2(x -5)^2 x(x-3)\).

1) Для неравенства \(2x + 9 > 4x — 7\) вычтем \(2x\) и прибавим 7 к обеим сторонам: \(16 > 2x\), откуда \(x < 8\). Наибольшее целое решение: 7.

2) Для неравенства \(14x^2 — (2x — 3)(7x + 4) \leq 14\) раскроем скобки: \((2x — 3)(7x + 4) = 14x^2 + 8x — 21x — 12 = 14x^2 — 13x — 12\). Тогда неравенство становится: \(14x^2 — (14x^2 — 13x — 12) \leq 14\), то есть \(13x + 12 \leq 14\), откуда \(13x \leq 2\), \(x \leq \frac{2}{13}\). Наибольшее целое решение: 0.

3) Для неравенства \((3x + 2)^2 — (9x — 1)(x + 1) \geq 17\) раскроем выражения: \((3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4\), \((9x — 1)(x + 1) = 9x^2 + 9x — x — 1 = 9x^2 + 8x — 1\). Тогда: \(9x^2 + 12x + 4 — (9x^2 + 8x — 1) \geq 17\), то есть \(4x + 5 \geq 17\), \(4x \geq 12\), \(x \geq 3\). Наибольшее целое решение отсутствует, так как \(x\) может быть сколь угодно большим.

4) Для неравенства \((x — 1)(x + 1) < 2(x — 5)^2 — x(x — 3)\) раскроем скобки: \((x — 1)(x + 1) = x^2 — 1\), \(2(x — 5)^2 = 2(x^2 — 10x + 25) = 2x^2 — 20x + 50\), \(-x(x — 3) = -x^2 + 3x\). Тогда: \(x^2 — 1 < 2x^2 — 20x + 50 — x^2 + 3x\), упростим: \(x^2 — 1 < x^2 — 17x + 50\), вычтем \(x^2\): \(-1 < -17x + 50\), \(17x < 51\), \(x < 3\). Наибольшее целое решение: 2.

1) Рассмотрим неравенство \(2x + 9 > 4x — 7\). Для решения перенесем все слагаемые, содержащие \(x\), в одну сторону, а константы — в другую. Вычтем \(2x\) из обеих сторон: \(9 > 4x — 2x — 7\), что упрощается до \(9 > 2x — 7\). Теперь прибавим 7 к обеим сторонам: \(9 + 7 > 2x\), то есть \(16 > 2x\). Разделим обе стороны на 2: \(8 > x\), или \(x < 8\). Таким образом, решение неравенства — все \(x\), меньшие 8. Поскольку нас интересует наибольшее целое решение, выбираем наибольшее целое число, меньшее 8, то есть 7. Ответ: 7.

2) Рассмотрим неравенство \(14x^2 — (2x — 3)(7x + 4) \leq 14\). Сначала раскроем скобки в выражении \((2x — 3)(7x + 4)\). Умножим каждый член: \(2x \cdot 7x = 14x^2\), \(2x \cdot 4 = 8x\), \(-3 \cdot 7x = -21x\), \(-3 \cdot 4 = -12\). Итого: \(14x^2 + 8x — 21x — 12 = 14x^2 — 13x — 12\). Подставим это в исходное неравенство: \(14x^2 — (14x^2 — 13x — 12) \leq 14\). Раскроем скобки, учитывая знак минус: \(14x^2 — 14x^2 + 13x + 12 \leq 14\), что упрощается до \(13x + 12 \leq 14\). Вычтем 12 из обеих сторон: \(13x \leq 2\). Разделим на 13: \(x \leq \frac{2}{13}\). Решение неравенства — все \(x\), меньшие или равные \(\frac{2}{13}\). Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — 0. Ответ: 0.

3) Рассмотрим неравенство \((3x + 2)^2 — (9x — 1)(x + 1) \geq 17\). Сначала раскроем квадрат: \((3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4\). Далее раскроем второе выражение: \((9x — 1)(x + 1) = 9x \cdot x + 9x \cdot 1 — 1 \cdot x — 1 \cdot 1 = 9x^2 + 9x — x — 1=\)
\( = 9x^2 + 8x — 1\). Подставим в неравенство: \(9x^2 + 12x + 4 — (9x^2 + 8x — 1) \geq 17\). Раскроем скобки: \(9x^2 + 12x + 4 — 9x^2 — 8x + 1 \geq 17\). Сложим подобные слагаемые: \( (9x^2 — 9x^2) + (12x — 8x) + (4 + 1) \geq 17 \), то есть \(4x + 5 \geq 17\). Вычтем 5 из обеих сторон: \(4x \geq 12\). Разделим на 4: \(x \geq 3\). Решение — все \(x\), большие или равные 3. Поскольку \(x\) может быть сколь угодно большим, наибольшего целого решения нет. Ответ: нет.

4) Рассмотрим неравенство \((x — 1)(x + 1) < 2(x — 5)^2 — x(x — 3)\). Раскроем левую часть: \((x — 1)(x + 1) = x^2 — 1\). Теперь правую часть: сначала \(2(x — 5)^2 = 2(x^2 — 10x + 25) = 2x^2 — 20x + 50\), затем \(-x(x — 3) = -x^2 + 3x\). Итого правая часть: \(2x^2 — 20x + 50 — x^2 + 3x = x^2 — 17x + 50\). Неравенство принимает вид: \(x^2 — 1 < x^2 — 17x + 50\). Вычтем \(x^2\) из обеих сторон: \(-1 < -17x + 50\). Прибавим 1 к обеим сторонам: \(0 < -17x + 51\), или \(17x < 51\). Разделим на 17: \(x < 3\). Решение неравенства — все \(x\), меньшие 3. Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию, — 2. Ответ: 2.