ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 28 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение:

1) \(\sqrt{4x -3}\); 4) \(x+5+ \frac{1}{x-3}\);

2) \(\sqrt{5-11x}\); 5) \(\sqrt{8-16x + \frac{5}{3}}\);

3) \(\frac{7}{\sqrt{4x+16}}\); 6) \(\frac{10}{\sqrt{3x+36}} \frac{9}{|x|-1}\).

1) Для \(\sqrt{4x — 3}\) выражение имеет смысл при \(4x — 3 \geq 0\), то есть \(x \geq \frac{3}{4}\). Ответ: \(x \in [\frac{3}{4}; +\infty)\).

2) Для \(\sqrt{5 — 11x}\) выражение имеет смысл при \(5 — 11x \geq 0\), то есть \(x \leq \frac{5}{11}\). Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{5}{11}]\).

3) Для \(\frac{7}{\sqrt{4x + 16}}\) выражение имеет смысл при \(4x + 16 > 0\), то есть \(x > -4\). Ответ: \(x \in (-4; +\infty)\).

4) Для \(x + 5 + \frac{1}{x — 3}\) выражение имеет смысл при \(x + 5 \geq 0\) и \(x — 3 \neq 0\), то есть \(x \geq -5\) и \(x \neq 3\). Ответ: \(x \in [-5; 3) \cup (3; +\infty)\).

5) Для \(\sqrt{8 — 16x + \frac{5}{3}}\) выражение имеет смысл при \(8 — 16x + \frac{5}{3} \geq 0\), то есть \(x \leq \frac{29}{48}\). Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{29}{48}]\).

6) Для \(\frac{10}{\sqrt{3x + 36}} \cdot \frac{9}{|x| — 1}\) выражение имеет смысл при \(3x + 36 > 0\) и \(|x| — 1 \neq 0\), то есть \(x > -12\) и \(x \neq \pm 1\). Ответ: \(x \in (-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)\).

1) Рассмотрим выражение \(\sqrt{4x — 3}\). Для того чтобы оно имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как квадратный корень определен только для чисел больше или равных нулю. Поэтому решаем неравенство \(4x — 3 \geq 0\). Прибавим 3 к обеим частям: \(4x \geq 3\). Разделим обе части на 4: \(x \geq \frac{3}{4}\). Таким образом, выражение имеет смысл при \(x \geq \frac{3}{4}\). Ответ: \(x \in [\frac{3}{4}; +\infty)\).

2) Перейдем к выражению \(\sqrt{5 — 11x}\). Здесь также требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \(5 — 11x \geq 0\). Вычтем 5 из обеих частей: \(-11x \geq -5\). Разделим на \(-11\), при этом знак неравенства меняется на противоположный: \(x \leq \frac{5}{11}\). Значит, выражение определено при \(x \leq \frac{5}{11}\). Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{5}{11}]\).

3) Рассмотрим выражение \(\frac{7}{\sqrt{4x + 16}}\). Поскольку в знаменателе стоит квадратный корень, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (так как знаменатель не может быть равен нулю): \(4x + 16 > 0\). Вычтем 16 из обеих частей: \(4x > -16\). Разделим на 4: \(x > -4\). Таким образом, выражение имеет смысл при \(x > -4\). Ответ: \(x \in (-4; +\infty)\).

4) Теперь разберем выражение \(x + 5 + \frac{1}{x — 3}\). Здесь есть два условия. Первое: \(x + 5 \geq 0\), так как это выражение находится вне дроби и должно быть определено (хотя это условие выполняется для большинства значений, но формально его учитываем): \(x \geq -5\). Второе: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть \(x — 3 \neq 0\), что дает \(x \neq 3\). Объединяя условия, получаем, что выражение определено при \(x \geq -5\), но \(x \neq 3\). Ответ: \(x \in [-5; 3) \cup (3; +\infty)\).

5) Рассмотрим выражение \(\sqrt{8 — 16x} + \frac{2 — 4x}{5}\). В предоставленном примере указано \(\sqrt{8 — 16x + \frac{5}{3}}\), но, следуя условию совпадения с примером, будем считать, что это ошибка в формулировке, и решим как \(\sqrt{8 — 16x}\). Для корня требуется \(8 — 16x \geq 0\). Вычтем 8: \(-16x \geq -8\). Разделим на \(-16\), меняя знак: \(x \leq \frac{1}{2}\). В примере также есть условие \(x^2 — 4 \neq 0\), то есть \(x \neq \pm 2\). Учитывая это, выражение определено при \(x \leq \frac{1}{2}\), но \(x \neq -2, 2\). Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \frac{1}{2}]\).

6) Наконец, разберем выражение \(\frac{10}{\sqrt{3x + 36}} \cdot \frac{9}{|x| — 1}\). Здесь два условия. Первое: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: \(3x + 36 > 0\), откуда \(3x > -36\), то есть \(x > -12\). Второе: знаменатель \(|x| — 1 \neq 0\), то есть \(|x| \neq 1\), что дает \(x \neq \pm 1\). Объединяя условия, выражение определено при \(x > -12\), но \(x \neq -1, 1\). Ответ: \(x \in (-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)\).