ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 28 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение:

1) \(\sqrt{4x -3}\); 4) \(x+5+ \frac{1}{x-3}\);

2) \(\sqrt{5-11x}\); 5) \(\sqrt{8-16x + \frac{5}{3}}\);

3) \(\frac{7}{\sqrt{4x+16}}\); 6) \(\frac{10}{\sqrt{3x+36}} \frac{9}{|x|-1}\).

При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение:

1) \(\sqrt{4x — 3}\);

Выражение имеет смысл при:
\(4x — 3 \geq 0;\)
\(4x \geq 3;\)
\(x \geq \frac{3}{4};\)
Ответ: \(x \in [0,75; +\infty).\)

2) \(\sqrt{5 — 11x}\);

Выражение имеет смысл при:
\(5 — 11x \geq 0;\)
\(5 \geq 11x;\)
\(x \leq \frac{5}{11};\)
Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{5}{11}].\)

3) \(\frac{7}{\sqrt{4x + 16}}\);

Выражение имеет смысл при:
\(4x + 16 > 0;\)
\(4x > -16;\)
\(x > -4;\)
Ответ: \(x \in (-4; +\infty).\)

4) \(\sqrt{x + 5} + \frac{1}{x — 3}\);

Выражение имеет смысл при:
\(x + 5 \geq 0;\)
\(x \geq -5;\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 3 \neq 0;\)
\(x \neq 3;\)
Ответ: \(x \in [-5; 3) \cup (3; +\infty).\)

5) \(\sqrt{8 — 16x} + \frac{5}{x^2 — 4}\);

Выражение имеет смысл при:
\(8 — 16x \geq 0;\)
\(8 \geq 16x;\)
\(x \leq 0,5;\)
Выражение имеет смысл при:
\(x^2 — 4 \neq 0;\)
\(x^2 \neq 4;\)
\(x \neq \pm 2;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0,5].\)

6) \(\frac{10}{\sqrt{3x + 36}} + \frac{9}{|x| — 1}\);

Выражение имеет смысл при:
\(3x + 36 > 0;\)
\(3x > -36;\)
\(x > -12;\)
Выражение имеет смысл при:
\(|x| \neq 1;\)
\(x \neq \pm 1;\)
Ответ: \(x \in (-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty).\)

1) Рассмотрим выражение \(\sqrt{4x — 3}\). Чтобы подкоренное выражение имело смысл, оно должно быть неотрицательным, то есть \(4x — 3 \geq 0\). Это условие гарантирует, что результат извлечения квадратного корня будет вещественным числом, так как корень из отрицательного числа в множестве вещественных чисел не определён. Решая неравенство, получаем \(4x \geq 3\), откуда \(x \geq \frac{3}{4}\). Таким образом, множество допустимых значений \(x\) — все числа, начиная с \(\frac{3}{4}\) и дальше вправо по числовой оси. В интервале \([0,75; +\infty)\) выражение определено и корректно.

2) Для выражения \(\sqrt{5 — 11x}\) также необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \(5 — 11x \geq 0\). Это условие исключает случаи, когда подкоренное выражение становится отрицательным, что сделало бы корень невещественным. Переносим \(11x\) вправо: \(5 \geq 11x\), или \(x \leq \frac{5}{11}\). Следовательно, область определения — все числа, не превышающие \(\frac{5}{11}\). В числовом виде это интервал \((-\infty; \frac{5}{11}]\), где корень существует и выражение имеет смысл.

3) Рассмотрим дробь \(\frac{7}{\sqrt{4x + 16}}\). Здесь подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как знаменатель не может быть равен нулю или отрицательным числом. Значит, \(4x + 16 > 0\). Решая неравенство, получаем \(4x > -16\), откуда \(x > -4\). Таким образом, \(x\) может принимать любые значения больше \(-4\), но не равные \(-4\). Область определения — интервал \((-4; +\infty)\), где знаменатель существует и выражение корректно.

4) В выражении \(\sqrt{x + 5} + \frac{1}{x — 3}\) два условия: подкоренное выражение \(x + 5\) должно быть неотрицательным, то есть \(x + 5 \geq 0\), отсюда \(x \geq -5\). Второе условие связано с знаменателем дроби: он не должен равняться нулю, значит \(x — 3 \neq 0\), или \(x \neq 3\). Объединяя эти условия, получаем, что \(x\) принадлежит объединению интервалов \([-5; 3)\) и \((3; +\infty)\). В этих пределах выражение определено и корректно.

5) Для выражения \(\sqrt{8 — 16x} + \frac{5}{x^2 — 4}\) сначала рассмотрим корень: \(8 — 16x \geq 0\), что даёт \(8 \geq 16x\), или \(x \leq 0,5\). Далее знаменатель дроби \(x^2 — 4\) не должен равняться нулю, то есть \(x^2 \neq 4\), следовательно, \(x \neq \pm 2\). Объединяя эти условия, область определения — все числа, меньшие или равные \(0,5\), за исключением \(-2\), так как \(2 > 0,5\) не входит в область. Значит, \(x\) лежит в интервале \((-\infty; -2) \cup (-2; 0,5]\).

6) Рассмотрим выражение \(\frac{10}{\sqrt{3x + 36}} + \frac{9}{|x| — 1}\). Для первой дроби подкоренное выражение должно быть строго положительным: \(3x + 36 > 0\), значит \(3x > -36\), откуда \(x > -12\). Для второй дроби знаменатель \(|x| — 1\) не должен равняться нулю, то есть \(|x| \neq 1\), откуда \(x \neq \pm 1\). Область определения — все числа больше \(-12\), исключая точки \(-1\) и \(1\). В итоге получаем три интервала: \((-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)\), на которых выражение имеет смысл.