ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) (a-8)(+7) > (a+10)(a-11);

2)\( (a -6)^2 — 2 < (a -5)(a-7)\);

3) \((2a-5)(2a+5) — (3a-2)^2 — (3(4a-9)-2)\)

1) Рассмотрим разность: \((a-8)(a+7) — (a+10)(a-11) = (a^2 — a — 56) — (a^2 — a — 110) =\)
\(= -56 + 110 = 54 > 0\). Поскольку разность всегда положительна, неравенство выполняется для всех \(a\).

2) Рассмотрим разность: \((a-6)^2 — 2 — (a-5)(a-7) = (a^2 — 12a + 36) — 2 — (a^2 — 12a + 35)=\)
\( = 36 — 2 — 35 = -1 < 0\). Разность всегда отрицательна, значит, неравенство выполняется для всех \(a\).

3) Рассмотрим разность: \((2a-5)(2a+5) — (3a-2)^2 — (3(4a-9)-2) = (4a^2 — 25) -\)
\(- (9a^2 — 12a + 4) — (12a — 27 — 2) = 4a^2 — 25 — 9a^2 + 12a — 4 — 12a + 29 =\)
\(= -5a^2 + 0 = -5a^2 \leq 0\). Разность всегда неположительна, значит, неравенство выполняется для всех \(a\).

1. Для доказательства неравенства \((a-8)(a+7) > (a+10)(a-11)\) найдем разность левой и правой частей. Раскроем скобки в левой части: \((a-8)(a+7) = a^2 + 7a — 8a — 56 = a^2 — a — 56\). Теперь раскроем скобки в правой части: \((a+10)(a-11) = a^2 — 11a + 10a — 110 = a^2 — a — 110\). Вычтем правую часть из левой: \((a^2 — a — 56) — (a^2 — a — 110) = (a^2 — a — 56) — a^2 + a + 110 =\)
\(= -56 + 110 = 54\). Получаем разность равную \(54\), которая больше \(0\). Поскольку \(54 > 0\) при любых значениях \(a\), то неравенство \((a-8)(a+7) > (a+10)(a-11)\) выполняется для всех действительных чисел \(a\). Что и требовалось доказать.

2. Для доказательства неравенства \((a-6)^2 — 2 < (a-5)(a-7)\) также найдем разность левой и правой частей. Сначала раскроем левую часть: \((a-6)^2 — 2 = a^2 — 12a + 36 — 2 = a^2 — 12a + 34\). Теперь раскроем правую часть: \((a-5)(a-7) = a^2 — 7a — 5a + 35 = a^2 — 12a + 35\). Вычтем правую часть из левой: \((a^2 — 12a + 34) — (a^2 — 12a + 35) = (a^2 — 12a + 34) — a^2 + 12a — 35 =\)
\(= 34 — 35 = -1\). Получаем разность равную \(-1\), которая меньше \(0\). Поскольку \(-1 < 0\) при любых значениях \(a\), то неравенство \((a-6)^2 — 2 < (a-5)(a-7)\) выполняется для всех действительных чисел \(a\). Что и требовалось доказать.

3. Для доказательства неравенства \((2a-5)(2a+5) — (3a-2)^2 \leq 3(4a-9) — 2\) найдем разность левой и правой частей. Сначала раскроем левую часть. Вычислим \((2a-5)(2a+5) = 4a^2 + 10a — 10a — 25 = 4a^2 — 25\). Затем вычислим \((3a-2)^2 = 9a^2 — 12a + 4\). Значит, левая часть равна \((4a^2 — 25) — (9a^2 — 12a + 4) = 4a^2 — 25 — 9a^2 + 12a — 4 = -5a^2 + 12a — 29\). Теперь раскроем правую часть: \(3(4a-9) — 2 = 12a — 27 — 2 =\)
\(= 12a — 29\). Вычтем правую часть из левой: \((-5a^2 + 12a — 29) — (12a — 29) = -5a^2 + 12a — 29 — 12a + 29 = -5a^2\). Получаем разность равную \(-5a^2\), которая всегда меньше или равна \(0\), так как коэффициент при \(a^2\) отрицательный. Таким образом, неравенство \((2a-5)(2a+5) — (3a-2)^2 \leq 3(4a-9) — 2\) выполняется для всех действительных чисел \(a\). Что и требовалось доказать.