ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 36 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) имеет единственный положительный корень уравнение: 1) \((b-2)x = 6b — 4\); 2) \((4b^2 + 11b)x = b\)?

1) Уравнение: \((b-2)x = b^2 — 4\).

Корень единственный, значит \(b \neq 2\).

Тогда \(x = \frac{b^2 — 4}{b-2} = b + 2\).

Корень положителен при \(b + 2 > 0\), то есть \(b > -2\).

Итог: \(b \in (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).

2) Уравнение: \((4b^2 + 11b)x = b\).

Корень единственный, значит \(4b^2 + 11b \neq 0\), то есть \(b \neq 0\) и \(b \neq -\frac{11}{4} = -2.75\).

Корень: \(x = \frac{b}{4b^2 + 11b} = \frac{1}{4b + 11}\).

Корень положителен при \(\frac{1}{4b + 11} > 0\), значит \(4b + 11 > 0\), то есть \(b > -\frac{11}{4} = -2.75\).

Итог: \(b \in (-2.75; 0) \cup (0; +\infty)\).

1) Уравнение: \((b-2)x = b^2 — 4\).

Перепишем правую часть: \(b^2 — 4 = (b-2)(b+2)\).

Тогда уравнение примет вид: \((b-2)x = (b-2)(b+2)\).

Чтобы корень был единственным, необходимо, чтобы \(b-2 \neq 0\), то есть \(b \neq 2\).

При этом можно сократить уравнение на \(b-2\) и получить \(x = b + 2\).

Для того чтобы корень был положительным, должно выполняться \(x > 0\), то есть \(b + 2 > 0\), откуда \(b > -2\).

Объединяя ограничения, получаем \(b \in (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).

2) Уравнение: \((4b^2 + 11b)x = b\).

Для единственности корня необходимо, чтобы \(4b^2 + 11b \neq 0\).

Это возможно, если \(b \neq 0\) и \(b \neq -\frac{11}{4} = -2.75\).

Тогда корень равен \(x = \frac{b}{4b^2 + 11b} = \frac{1}{4b + 11}\).

Для положительности корня должно выполняться \(\frac{1}{4b + 11} > 0\).

Это возможно, если \(4b + 11 > 0\), откуда \(b > -\frac{11}{4} = -2.75\).

С учетом исключения \(b \neq 0\), получаем \(b \in (-2.75; 0) \cup (0; +\infty)\).