ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 38 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите неравенство:
1) \((a-3)x < 0\); 5) \(a — x \leq 2 — ax\);
2) \((a-3)x > 4\); 6) \(4(x — a) > 8 + ax\);
3) \((a-3)x \leq a — 3\); 7) \((a+1)x > a^2 — 1\);
4) \((a — 3)^2 x \geq 0\); 8) \((a-5)x \leq a^2 — 25\).

1)
\(a > 3 \Rightarrow x < 0\)
\(a < 3 \Rightarrow x > 0\)
\(a = 3 \Rightarrow x \in \emptyset\)

2)
\(a > 3 \Rightarrow x > \frac{4}{a-3}\)
\(a < 3 \Rightarrow x < \frac{4}{a-3}\)
\(a = 3 \Rightarrow x \in \emptyset\)

3)
\(a > 3 \Rightarrow x \leq 1\)
\(a < 3 \Rightarrow x \geq 1\)
\(a = 3 \Rightarrow x \in (-\infty; +\infty)\)

4)
\(a \neq 3 \Rightarrow x \geq 0\)
\(a = 3 \Rightarrow x \in (-\infty; +\infty)\)

5)
\(a > 1 \Rightarrow x \leq \frac{2-a}{a-1}\)
\(a < 1 \Rightarrow x \geq \frac{2-a}{a-1}\)
\(a = 1 \Rightarrow x \in (-\infty; +\infty)\)

6)
\(a < 4 \Rightarrow x > \frac{8+4a}{4-a}\)
\(a > 4 \Rightarrow x < \frac{8+4a}{4-a}\)
\(a = 4 \Rightarrow x \in \emptyset\)

7)
\(a > -1 \Rightarrow x > a-1\)
\(a < -1 \Rightarrow x < a-1\)
\(a = -1 \Rightarrow x \in \emptyset\)

8)
\(a > 5 \Rightarrow x \leq a+5\)
\(a < 5 \Rightarrow x \geq a+5\)
\(a = 5 \Rightarrow x \in (-\infty; +\infty)\)

1)
Рассмотрим неравенство \((a-3)x < 0\).
Если \(a — 3 > 0\), то есть \(a > 3\), неравенство эквивалентно \(x < 0\).
Если \(a — 3 < 0\), то есть \(a < 3\), меняем знак при делении, получаем \(x > 0\).
Если \(a = 3\), тогда \(0 \cdot x < 0\), что невозможно, значит \(x \in \emptyset\).

2)
Рассмотрим \((a-3)x > 4\).
Если \(a > 3\), делим на положительное число, получаем \(x > \frac{4}{a-3}\).
Если \(a < 3\), делим на отрицательное число, меняем знак, получаем \(x < \frac{4}{a-3}\).
Если \(a = 3\), тогда \(0 \cdot x > 4\), невозможно, значит \(x \in \emptyset\).

3)
Рассмотрим \((a-3)x \leq a-3\).
Если \(a > 3\), делим на положительное число, получаем \(x \leq \frac{a-3}{a-3} = 1\).
Если \(a < 3\), делим на отрицательное число, меняем знак, получаем \(x \geq 1\).
Если \(a = 3\), \(0 \cdot x \leq 0\), верно для всех \(x \in \mathbb{R}\).

4)
Рассмотрим \((a-3)^2 x \geq 0\).
Если \(a \neq 3\), то \((a-3)^2 > 0\), делим на положительное число, получаем \(x \geq 0\).
Если \(a = 3\), тогда \(0 \cdot x \geq 0\), верно для всех \(x \in \mathbb{R}\).

5)
Рассмотрим \(a — x \leq 2 — ax\).
Переносим все на одну сторону: \(-x + ax \leq 2 — a\),
группируем: \((a-1)x \leq 2 — a\).
Если \(a > 1\), делим на положительное число, получаем \(x \leq \frac{2 — a}{a — 1}\).
Если \(a < 1\), делим на отрицательное число, меняем знак, получаем \(x \geq \frac{2 — a}{a — 1}\).
Если \(a = 1\), неравенство становится \(0 \cdot x \leq 1\), верно для всех \(x \in \mathbb{R}\).

6)
Рассмотрим \(4(x — a) > 8 + ax\).
Раскрываем скобки: \(4x — 4a > 8 + ax\),
переносим \(ax\) в левую часть: \(4x — ax > 8 + 4a\),
выносим \(x\) за скобки: \((4 — a)x > 8 + 4a\).
Если \(4 — a > 0\), то есть \(a < 4\), делим на положительное число:
\(x > \frac{8 + 4a}{4 — a}\).
Если \(a > 4\), делим на отрицательное число, меняем знак:
\(x < \frac{8 + 4a}{4 — a}\).
Если \(a = 4\), неравенство принимает вид \(0 \cdot x > 24\), невозможно, значит \(x \in \emptyset\).

7)
Рассмотрим \((a+1)x > a^2 — 1\).
Запишем \(a^2 — 1 = (a-1)(a+1)\).
Если \(a+1 > 0\), то есть \(a > -1\), делим на положительное число:
\(x > \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} = a — 1\).
Если \(a+1 < 0\), то есть \(a < -1\), делим на отрицательное число, меняем знак:
\(x < a — 1\).
Если \(a = -1\), неравенство принимает вид \(0 \cdot x > 0\), невозможно, значит \(x \in \emptyset\).

8)
Рассмотрим \((a-5)x \leq a^2 — 25\).
Запишем \(a^2 — 25 = (a-5)(a+5)\).
Если \(a-5 > 0\), то есть \(a > 5\), делим на положительное число:
\(x \leq \frac{(a-5)(a+5)}{a-5} = a + 5\).
Если \(a-5 < 0\), то есть \(a < 5\), делим на отрицательное число, меняем знак:
\(x \geq a + 5\).
Если \(a = 5\), неравенство принимает вид \(0 \cdot x \leq 0\), верно для всех \(x \in \mathbb{R}\).
1)
Рассмотрим неравенство \((a-3)x < 0\).
Если \(a — 3 > 0\), то есть \(a > 3\), неравенство эквивалентно \(x < 0\).
Если \(a — 3 < 0\), то есть \(a < 3\), меняем знак при делении, получаем \(x > 0\).
Если \(a = 3\), тогда \(0 \cdot x < 0\), что невозможно, значит \(x \in \emptyset\).

2)
Рассмотрим \((a-3)x > 4\).
Если \(a > 3\), делим на положительное число, получаем \(x > \frac{4}{a-3}\).
Если \(a < 3\), делим на отрицательное число, меняем знак, получаем \(x < \frac{4}{a-3}\).
Если \(a = 3\), тогда \(0 \cdot x > 4\), невозможно, значит \(x \in \emptyset\).

3)
Рассмотрим \((a-3)x \leq a-3\).
Если \(a > 3\), делим на положительное число, получаем \(x \leq \frac{a-3}{a-3} = 1\).
Если \(a < 3\), делим на отрицательное число, меняем знак, получаем \(x \geq 1\).
Если \(a = 3\), \(0 \cdot x \leq 0\), верно для всех \(x \in \mathbb{R}\).

4)
Рассмотрим \((a-3)^2 x \geq 0\).
Если \(a \neq 3\), то \((a-3)^2 > 0\), делим на положительное число, получаем \(x \geq 0\).
Если \(a = 3\), тогда \(0 \cdot x \geq 0\), верно для всех \(x \in \mathbb{R}\).

5)
Рассмотрим \(a — x \leq 2 — ax\).
Переносим все на одну сторону: \(-x + ax \leq 2 — a\),
группируем: \((a-1)x \leq 2 — a\).
Если \(a > 1\), делим на положительное число, получаем \(x \leq \frac{2 — a}{a — 1}\).
Если \(a < 1\), делим на отрицательное число, меняем знак, получаем \(x \geq \frac{2 — a}{a — 1}\).
Если \(a = 1\), неравенство становится \(0 \cdot x \leq 1\), верно для всех \(x \in \mathbb{R}\).

6)
Рассмотрим \(4(x — a) > 8 + ax\).
Раскрываем скобки: \(4x — 4a > 8 + ax\),
переносим \(ax\) в левую часть: \(4x — ax > 8 + 4a\),
выносим \(x\) за скобки: \((4 — a)x > 8 + 4a\).
Если \(4 — a > 0\), то есть \(a < 4\), делим на положительное число:
\(x > \frac{8 + 4a}{4 — a}\).
Если \(a > 4\), делим на отрицательное число, меняем знак:
\(x < \frac{8 + 4a}{4 — a}\).
Если \(a = 4\), неравенство принимает вид \(0 \cdot x > 24\), невозможно, значит \(x \in \emptyset\).

7)
Рассмотрим \((a+1)x > a^{2} — 1\).
Запишем \(a^{2} — 1 = (a-1)(a+1)\).
Если \(a+1 > 0\), то есть \(a > -1\), делим на положительное число:
\(x > \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} = a — 1\).
Если \(a+1 < 0\), то есть \(a < -1\), делим на отрицательное число, меняем знак:
\(x < a — 1\).
Если \(a = -1\), неравенство принимает вид \(0 \cdot x > 0\), невозможно, значит \(x \in \emptyset\).

8)
Рассмотрим \((a-5)x \leq a^{2} — 25\).
Запишем \(a^{2} — 25 = (a-5)(a+5)\).
Если \(a-5 > 0\), то есть \(a > 5\), делим на положительное число:
\(x \leq \frac{(a-5)(a+5)}{a-5} = a + 5\).
Если \(a-5 < 0\), то есть \(a < 5\), делим на отрицательное число, меняем знак:
\(x \geq a + 5\).
Если \(a = 5\), неравенство принимает вид \(0 \cdot x \leq 0\), верно для всех \(x \in \mathbb{R}\).