ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:
1)
\(a^2 — 6a + 10 > 0\);

2)
\(12y — 4y^2 — 11 < 0\);

3)
\(a(a — 8) > 2(a — 13)\);

4)
\(x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 ≥ 0\);

5)
\(x^2 — 10xy + 26y^2 + 12y + 40 \);

6)
\(07+5. 22. Ja^2 + 4\)

1) Преобразуем выражение \( a^2 — 6a + 10 = (a — 3)^2 + 1 \). Так как \( (a — 3)^2 \geq 0 \) и \( 1 > 0 \), то \( (a — 3)^2 + 1 > 0 \) при любом \( a \). Неравенство доказано.

2) Преобразуем выражение \( 12y — 4y^2 — 11 = -(4y^2 — 12y + 9) — 2 = -(2y — 3)^2 — 2 \). Так как \( -(2y — 3)^2 \leq 0 \) и \( -2 < 0 \), то \( -(2y — 3)^2 — 2 < 0 \) при любом \( y \). Неравенство доказано.

3) Преобразуем выражение \( a(a — 8) — 2(a — 13) = a^2 — 8a — 2a + 26 = a^2 — 10a + 26 = (a — 5)^2 + 1 \). Так как \( (a — 5)^2 \geq 0 \) и \( 1 > 0 \), то \( (a — 5)^2 + 1 > 0 \) при любом \( a \). Неравенство доказано.

4) Преобразуем выражение \( x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 = (x^2 + 6x + 9) + (4y^2 + 4y + 1) = (x + 3)^2 +\)
\(+ (2y + 1)^2 \). Так как \( (x + 3)^2 \geq 0 \) и \( (2y + 1)^2 \geq 0 \), их сумма всегда \( \geq 0 \). Неравенство доказано.

5) Преобразуем выражение \( x^2 — 10xy + 26y^2 + 12y + 40 = (x^2 — 10xy + 25y^2) + (y^2 + 12y + 36) + 4=\)
\( = (x — 5y)^2 + (y + 6)^2 + 4 \). Так как \( (x — 5y)^2 \geq 0 \), \( (y + 6)^2 \geq 0 \) и \( 4 > 0 \), то сумма всегда \( > 0 \). Неравенство доказано.

6) Преобразуем выражение \( a^2 + 5 + \frac{a^2 + 4}{\sqrt{a^2 + 4}} \). Пусть \( b = \sqrt{a^2 + 4} \), тогда выражение становится \( b + \frac{b^2 + 1}{b} = b + b + \frac{1}{b} — 2 + 2 = 2b + \frac{1}{b} — 2 \). Рассмотрим разность \( 2b + \frac{1}{b} — 2 = \frac{2b^2 — 2b + 1}{b} = \frac{(b — 1)^2 + b}{b} \). Так как \( (b — 1)^2 \geq 0 \) и \( b > 0 \), то выражение \( \geq 2 \). Неравенство доказано.

1) Рассмотрим неравенство \( a^2 — 6a + 10 > 0 \). Для доказательства преобразуем левую часть выражения, чтобы показать, что она всегда положительна. Выполним дополнение до полного квадрата: \( a^2 — 6a + 10 = (a^2 — 6a + 9) + 1 = (a — 3)^2 + 1 \).

Поскольку \( (a — 3)^2 \geq 0 \) для любого действительного числа \( a \), а к этому значению добавляется положительное число \( 1 \), то \( (a — 3)^2 + 1 > 0 \) при любом \( a \). Это подтверждает, что выражение всегда больше нуля.

Таким образом, неравенство \( a^2 — 6a + 10 > 0 \) доказано для всех действительных значений \( a \).

2) Рассмотрим неравенство \( 12y — 4y^2 — 11 < 0 \). Преобразуем левую часть, чтобы показать, что она всегда отрицательна. Перепишем выражение: \( 12y — 4y^2 — 11 = — (4y^2 — 12y + 9) — 2 \).

Далее преобразуем выражение внутри скобок в полный квадрат: \( 4y^2 — 12y + 9 = (2y — 3)^2 \). Тогда исходное выражение принимает вид: \( -(2y — 3)^2 — 2 \).

Поскольку \( (2y — 3)^2 \geq 0 \), то \( -(2y — 3)^2 \leq 0 \), а при добавлении отрицательного числа \( -2 \) получаем \( -(2y — 3)^2 — 2 < 0 \) для всех \( y \). Это подтверждает, что выражение всегда меньше нуля.

Таким образом, неравенство \( 12y — 4y^2 — 11 < 0 \) доказано для всех действительных значений \( y \).

3) Рассмотрим неравенство \( a(a — 8) > 2(a — 13) \). Для доказательства вычислим разность левой и правой частей: \( a(a — 8) — 2(a — 13) = a^2 — 8a — 2a + 26 = a^2 — 10a + 26 \).

Теперь преобразуем полученное выражение в полный квадрат: \( a^2 — 10a + 26 = (a^2 — 10a + 25) + 1 = (a — 5)^2 + 1 \).

Поскольку \( (a — 5)^2 \geq 0 \) для любого \( a \), а к этому значению добавляется положительное число \( 1 \), то \( (a — 5)^2 + 1 > 0 \) при любом \( a \). Это подтверждает, что разность всегда положительна, а значит, левая часть больше правой.

Таким образом, неравенство \( a(a — 8) > 2(a — 13) \) доказано для всех действительных значений \( a \).

4) Рассмотрим неравенство \( x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0 \). Преобразуем левую часть, группируя члены с \( x \) и \( y \): \( x^2 + 6x + 4y^2 + 4y + 10 \).

Для членов с \( x \): \( x^2 + 6x = (x + 3)^2 — 9 \), а для членов с \( y \): \( 4y^2 + 4y = 4(y^2 + y) = 4\left(y^2 + y + \frac{1}{4}\right) — 1 = (2y + 1)^2 — 1 \). Подставим это в выражение: \( (x + 3)^2 — 9 + (2y + 1)^2 — 1 + 10 = (x + 3)^2 + (2y + 1)^2 \).

Поскольку \( (x + 3)^2 \geq 0 \) и \( (2y + 1)^2 \geq 0 \), их сумма также всегда \( \geq 0 \). Это подтверждает, что выражение не может быть отрицательным.

Таким образом, неравенство \( x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0 \) доказано для всех действительных значений \( x \) и \( y \).

5) Рассмотрим неравенство \( x^2 — 10xy + 26y^2 + 12y + 40 > 0 \). Преобразуем левую часть, группируя члены: \( x^2 — 10xy + 26y^2 + 12y + 40 = (x^2 — 10xy + 25y^2) + (y^2 + 12y + 36) + 4 \).

Заметим, что \( x^2 — 10xy + 25y^2 = (x — 5y)^2 \), а \( y^2 + 12y + 36 = (y + 6)^2 \). Тогда выражение принимает вид: \( (x — 5y)^2 + (y + 6)^2 + 4 \).

Поскольку \( (x — 5y)^2 \geq 0 \), \( (y + 6)^2 \geq 0 \) и добавляется положительное число \( 4 \), то сумма всегда больше нуля: \( (x — 5y)^2 + (y + 6)^2 + 4 > 0 \).

Таким образом, неравенство \( x^2 — 10xy + 26y^2 + 12y + 40 > 0 \) доказано для всех действительных значений \( x \) и \( y \).

6) Рассмотрим неравенство \( a^2 + 5 + \frac{a^2 + 4}{\sqrt{a^2 + 4}} \geq 2 \). Обозначим \( b = \sqrt{a^2 + 4} \), где \( b > 0 \), так как квадратный корень всегда положителен. Тогда выражение принимает вид: \( b^2 — 4 + 5 + \frac{b^2}{b} = b^2 + 1 + b = b + \frac{b^2 + 1}{b} \).

Упростим это выражение: \( b + \frac{b^2 + 1}{b} = b + b + \frac{1}{b} = 2b + \frac{1}{b} \). Теперь вычтем 2 и исследуем разность: \( 2b + \frac{1}{b} — 2 = \frac{2b^2 — 2b + 1}{b} \).

Числитель \( 2b^2 — 2b + 1 = 2\left(b^2 — b + \frac{1}{2}\right) = 2\left(\left(b — \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}\right) \), что всегда положительно, так как \( \left(b — \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0 \). Поскольку знаменатель \( b > 0 \), то \( \frac{2b^2 — 2b + 1}{b} > 0 \), а значит, \( 2b + \frac{1}{b} > 2 \).

Таким образом, неравенство \( a^2 + 5 + \frac{a^2 + 4}{\sqrt{a^2 + 4}} \geq 2 \) доказано для всех действительных значений \( a \).