ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 45 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1) \(\{ 5x > -25, -7x > 14 \}\);

2) \(\{ 6x-7 > 4x — 8, 3x + 16 \geq 8x — 4 \}\);

3) \(\{ 0,3(x-6) \leq 0,5x + 1, 4x + 7 > 2(x + 6,5) \}\);

4) \(\{ 3x(x-7) — x(4 + 8x) < 5, 12x^2 — (2x — 3)(6x + 4) < 17 \}\);

5) \(\{ \frac{5x — 4}{6} > 2x + 1, 1 — 2x > 2,5 — 3x \}\);

6) \(\{ 4(5x-1)^3 + 4x \leq (5x — 1)(5x + 1) — 4x, 6x — 9 < 3x + 15 \}\);

7) \(\{ 7 — 2x > 13 — 5x, 8x + 20 \geq 3x + 5 \}\);

8) \(\{ 2x + 1 \geq 4x — 5, 5x — 1 > 2x + 4 \}\);

9) \(\{ 10x — 5 \leq 3x + 18, 5x + 8 — 1 \geq 3x \}\).

1) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 5x > -25 \\ -7x > 14 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 5x > -25 \)
\( x > \frac{-25}{5} \)
\( x > -5 \)
Второе неравенство:
\( -7x > 14 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x < \frac{14}{-7} \)
\( x < -2 \)
Ответ: \( -5 < x < -2 \).

2) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 6x — 7 \geq 4x — 3 \\ 3x + 16 \geq 8x — 4 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 6x — 7 \geq 4x — 3 \)
\( 6x — 4x \geq -3 + 7 \)
\( 2x \geq 4 \)
\( x \geq 2 \)
Второе неравенство:
\( 3x + 16 \geq 8x — 4 \)
\( 3x — 8x \geq -4 — 16 \)
\( -5x \geq -20 \)
\( x \leq \frac{-20}{-5} \)
\( x \leq 4 \)
Ответ: \( 2 \leq x \leq 4 \).

3) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 0,3(x-6) \leq 0,5x + 1 \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5) \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 0,3x — 1,8 \leq 0,5x + 1 \)
\( 0,3x — 0,5x \leq 1 + 1,8 \)
\( -0,2x \leq 2,8 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x \geq \frac{2,8}{-0,2} \)
\( x \geq -14 \)
Второе неравенство:
\( 4x + 7 > 2x + 13 \)
\( 4x — 2x > 13 — 7 \)
\( 2x > 6 \)
\( x > 3 \)
Ответ: \( x > 3 \).

4) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 3x(x-7) — x(4 + 3x) < 5 \\ 12x^2 — (2x — 3)(6x + 4) < 17 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 3x^2 — 21x — 4x — 3x^2 < 5 \)
\( -25x < 5 \)
\( x > \frac{5}{-25} \)
\( x > -0,2 \)
Второе неравенство:
Раскрываем скобки:
\( 12x^2 — (12x^2 + 8x — 18x — 12) < 17 \)
\( 12x^2 — 12x^2 — 8x + 18x + 12 < 17 \)
\( 10x + 12 < 17 \)
\( 10x < 5 \)
\( x < \frac{5}{10} \)
\( x < 0,5 \)
Ответ: \( -0,2 < x < 0,5 \).

5) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} \frac{5x — 4}{6} > 2x + 1 \\ 1 — 2x > 2,5 — \frac{3x — 2}{8} \end{cases} \)
Первое неравенство:
Умножаем обе части на 6:
\( 5x — 4 > 6(2x + 1) \)
\( 5x — 4 > 12x + 6 \)
\( 5x — 12x > 6 + 4 \)
\( -7x > 10 \)
\( x < \frac{10}{-7} \)
\( x < -\frac{10}{7} \)
Второе неравенство:
Умножаем обе части на 8:
\( 8(1 — 2x) > 8 \cdot 2,5 — (3x — 2) \)
\( 8 — 16x > 20 — 3x + 2 \)
\( 8 — 16x > 22 — 3x \)
\( -16x + 3x > 22 — 8 \)
\( -13x > 14 \)
\( x < \frac{14}{-13} \)
\( x < -\frac{14}{13} \)
Пересечение решений: \( x < -\frac{14}{13} \) и \( x < -\frac{10}{7} \)
Такого \( x \) нет, удовлетворяющего обеим неравенствам, так как \( -\frac{14}{13} > -\frac{10}{7} \).
Ответ: \( \emptyset \).

6) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} (5x — 1)^2 + 4x \leq (5x — 1)(5x + 1) — 4x \\ 6x — 9 < 3x + 15 \end{cases} \)
Первое неравенство:
Раскрываем скобки:
\( 25x^2 — 10x + 1 + 4x \leq 25x^2 — 1 — 4x \)
\( -10x + 4x + 4x \leq -1 — 1 \)
\( -2x \leq -2 \)
\( x \geq 1 \)
Второе неравенство:
\( 6x — 9 < 3x + 15 \)
\( 6x — 3x < 15 + 9 \)
\( 3x < 24 \)
\( x < 8 \)
Ответ: \( 1 \leq x < 8 \).

7) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 7 — 2x > 13 — 5x \\ 8x + 20 \geq 3x + 5 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 7 — 2x > 13 — 5x \)
\( -2x + 5x > 13 — 7 \)
\( 3x > 6 \)
\( x > 2 \)
Второе неравенство:
\( 8x + 20 \geq 3x + 5 \)
\( 8x — 3x \geq 5 — 20 \)
\( 5x \geq -15 \)
\( x \geq -3 \)
Ответ: \( x > 2 \).

8) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 2x + 1 \geq 4x — 5 \\ 5x — 1 > 2x + 4 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 2x + 1 \geq 4x — 5 \)
\( 2x — 4x \geq -5 — 1 \)
\( -2x \geq -6 \)
\( x \leq 3 \)
Второе неравенство:
\( 5x — 1 > 2x + 4 \)
\( 5x — 2x > 4 + 1 \)
\( 3x > 5 \)
\( x > \frac{5}{3} \)
Ответ: \( \frac{5}{3} < x \leq 3 \).

9) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 10x — 5 \leq 3x + 18 \\ 5x + 8 — 1 \geq 3x \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 10x — 5 \leq 3x + 18 \)
\( 10x — 3x \leq 18 + 5 \)
\( 7x \leq 23 \)
\( x \leq \frac{23}{7} \)
Второе неравенство:
\( 5x + 7 \geq 3x \)
\( 5x — 3x \geq -7 \)
\( 2x \geq -7 \)
\( x \geq -\frac{7}{2} \)
Ответ: \( -\frac{7}{2} \leq x \leq \frac{23}{7} \).

1) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 5x > -25 \\ -7x > 14 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 5x > -25 \)
\( x > \frac{-25}{5} \)
\( x > -5 \)
Второе неравенство:
\( -7x > 14 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x < \frac{14}{-7} \)
\( x < -2 \)
Ответ: \( -5 < x < -2 \).

2) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 6x — 7 \geq 4x — 3 \\ 3x + 16 \geq 8x — 4 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 6x — 7 \geq 4x — 3 \)
\( 6x — 4x \geq -3 + 7 \)
\( 2x \geq 4 \)
\( x \geq 2 \)
Второе неравенство:
\( 3x + 16 \geq 8x — 4 \)
\( 3x — 8x \geq -4 — 16 \)
\( -5x \geq -20 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x \leq \frac{-20}{-5} \)
\( x \leq 4 \)
Ответ: \( 2 \leq x \leq 4 \).

3) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 0,3(x-6) \leq 0,5x + 1 \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5) \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 0,3x — 1,8 \leq 0,5x + 1 \)
\( 0,3x — 0,5x \leq 1 + 1,8 \)
\( -0,2x \leq 2,8 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x \geq \frac{2,8}{-0,2} \)
\( x \geq -14 \)
Второе неравенство:
\( 4x + 7 > 2x + 13 \)
\( 4x — 2x > 13 — 7 \)
\( 2x > 6 \)
\( x > 3 \)
Ответ: \( x > 3 \).

4) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 3x(x-7) — x(4 + 3x) < 5 \\ 12x^2 — (2x — 3)(6x + 4) < 17 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 3x^2 — 21x — 4x — 3x^2 < 5 \)
\( -25x < 5 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x > \frac{5}{-25} \)
\( x > -0,2 \)
Второе неравенство:
Раскрываем скобки:
\( 12x^2 — (12x^2 + 8x — 18x — 12) < 17 \)
\( 12x^2 — 12x^2 — 8x + 18x + 12 < 17 \)
\( 10x + 12 < 17 \)
\( 10x < 5 \)
\( x < \frac{5}{10} \)
\( x < 0,5 \)
Ответ: \( -0,2 < x < 0,5 \).

5) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} \frac{5x — 4}{6} > 2x + 1 \\ 1 — 2x > 2,5 — \frac{3x — 2}{8} \end{cases} \)
Первое неравенство:
Умножаем обе части на 6:
\( 5x — 4 > 6(2x + 1) \)
\( 5x — 4 > 12x + 6 \)
\( 5x — 12x > 6 + 4 \)
\( -7x > 10 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x < \frac{10}{-7} \)
\( x < -\frac{10}{7} \)
Второе неравенство:
Умножаем обе части на 8:
\( 8(1 — 2x) > 8 \cdot 2,5 — (3x — 2) \)
\( 8 — 16x > 20 — 3x + 2 \)
\( 8 — 16x > 22 — 3x \)
\( -16x + 3x > 22 — 8 \)
\( -13x > 14 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x < \frac{14}{-13} \)
\( x < -\frac{14}{13} \)
Пересечение решений: \( x < -\frac{14}{13} \) и \( x < -\frac{10}{7} \)
Такого \( x \) нет, удовлетворяющего обеим неравенствам, так как \( -\frac{14}{13} > -\frac{10}{7} \).
Ответ: \( \emptyset \).

6) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} (5x — 1)^2 + 4x \leq (5x — 1)(5x + 1) — 4x \\ 6x — 9 < 3x + 15 \end{cases} \)
Первое неравенство:
Раскрываем скобки:
\( 25x^2 — 10x + 1 + 4x \leq 25x^2 — 1 — 4x \)
\( -10x + 4x + 4x \leq -1 — 1 \)
\( -2x \leq -2 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x \geq 1 \)
Второе неравенство:
\( 6x — 9 < 3x + 15 \)
\( 6x — 3x < 15 + 9 \)
\( 3x < 24 \)
\( x < 8 \)
Ответ: \( 1 \leq x < 8 \).

7) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 7 — 2x > 13 — 5x \\ 8x + 20 \geq 3x + 5 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 7 — 2x > 13 — 5x \)
\( -2x + 5x > 13 — 7 \)
\( 3x > 6 \)
\( x > 2 \)
Второе неравенство:
\( 8x + 20 \geq 3x + 5 \)
\( 8x — 3x \geq 5 — 20 \)
\( 5x \geq -15 \)
\( x \geq -3 \)
Ответ: \( x > 2 \).

8) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 2x + 1 \geq 4x — 5 \\ 5x — 1 > 2x + 4 \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 2x + 1 \geq 4x — 5 \)
\( 2x — 4x \geq -5 — 1 \)
\( -2x \geq -6 \)
При делении на отрицательное число знак меняется:
\( x \leq 3 \)
Второе неравенство:
\( 5x — 1 > 2x + 4 \)
\( 5x — 2x > 4 + 1 \)
\( 3x > 5 \)
\( x > \frac{5}{3} \)
Ответ: \( \frac{5}{3} < x \leq 3 \).

9) Решаем систему неравенств:
\( \begin{cases} 10x — 5 \leq 3x + 18 \\ 5x + 8 — 1 \geq 3x \end{cases} \)
Первое неравенство:
\( 10x — 5 \leq 3x + 18 \)
\( 10x — 3x \leq 18 + 5 \)
\( 7x \leq 23 \)
\( x \leq \frac{23}{7} \)
Второе неравенство:
\( 5x + 7 \geq 3x \)
\( 5x — 3x \geq -7 \)
\( 2x \geq -7 \)
\( x \geq -\frac{7}{2} \)
Ответ: \( -\frac{7}{2} \leq x \leq \frac{23}{7} \).