ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 46 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет система неравенств:

1)

\(\begin{cases} 6x — 9 < 3x + 15, \\ 7 — 2x > 13 — 5x; \end{cases}\)

2)

\(\begin{cases} 8x + 20 \geq 3x + 5, \\ 2x + 1 \geq 4x — 5; \end{cases}\)

3)

\(\begin{cases} 5x — 1 > 2x + 4, \\ 10x — 5 \leq 3x + 13; \end{cases}\)

4)

\(\begin{cases} \frac{5x + 3}{2} — 1 \geq 3x, \\ (x + 1)(x — 4) — 2 \leq (x + 2)(x — 3) — x? \end{cases}\)

1)
Первое неравенство:
\(6x — 9 < 3x + 15\);
\(6x — 3x < 15 + 9\);
\(3x < 24\);
\(x < \frac{24}{3}\);
\(x < 8\).

Второе неравенство:
\(7 — 2x > 13 — 5x\);
\(-2x + 5x > 13 — 7\);
\(3x > 6\);
\(x > \frac{6}{3}\);
\(x > 2\).

Целые решения:
\(x = 3, 4, 5, 6, 7\).

Ответ: 5.

2)
Первое неравенство:
\(8x + 20 \geq 3x + 5\);
\(8x — 3x \geq 5 — 20\);
\(5x \geq -15\);
\(x \geq \frac{-15}{5}\);
\(x \geq -3\).

Второе неравенство:
\(2x + 1 \geq 4x — 5\);
\(2x — 4x \geq -5 — 1\);
\(-2x \geq -6\);
\(x \leq \frac{-6}{-2}\);
\(x \leq 3\).

Целые решения:
\(x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\).

Ответ: 7.

3)
Первое неравенство:
\(5x — 1 > 2x + 4\);
\(5x — 2x > 4 + 1\);
\(3x > 5\);
\(x > \frac{5}{3}\).

Второе неравенство:
\(10x — 5 \leq 3x + 13\);
\(10x — 3x \leq 13 + 5\);
\(7x \leq 18\);
\(x \leq \frac{18}{7}\).

Целые решения:
\(x = 2\).

Ответ: 1.

4)
Первое неравенство:
\(\frac{5x + 3}{2} — 1 \geq 3x\);
\(5x + 3 — 2 \geq 6x\) (домножили на 2);
\(5x + 1 \geq 6x\);
\(-x \geq -1\);
\(x \leq 1\).

Второе неравенство:
\((x + 1)(x — 4) — 2 \leq (x + 2)(x — 3) — x\);
\(x^2 — 4x + x — 4 — 2 \leq x^2 — 3x + 2x — 6 — x\);
\(-3x — 6 \leq -x — 6\);
\(-3x + x \leq -6 + 6\);
\(-2x \leq 0\);
\(x \geq 0\).

Целые решения:
\(x = 0, 1\).

Ответ: 2.

1)
Рассмотрим первое неравенство \(6x — 9 < 3x + 15\). Сначала перенесём все члены с переменной \(x\) в одну часть, а свободные числа в другую. Для этого вычтем \(3x\) из обеих частей: \(6x — 3x — 9 < 15\), что упрощается до \(3x — 9 < 15\). Затем прибавим 9 к обеим частям, получим \(3x < 24\). Чтобы найти \(x\), разделим обе части на 3: \(x < \frac{24}{3}\), то есть \(x < 8\).

Теперь рассмотрим второе неравенство \(7 — 2x > 13 — 5x\). Перенесём все члены с \(x\) в левую часть, а свободные в правую. Прибавим \(5x\) к обеим частям: \(7 + 3x > 13\). Вычтем 7 из обеих частей: \(3x > 6\). Разделим обе части на 3: \(x > \frac{6}{3}\), то есть \(x > 2\).

Итак, решение системы — это пересечение интервалов \(x < 8\) и \(x > 2\), то есть \(2 < x < 8\). Целые числа, удовлетворяющие этому условию, — это \(3, 4, 5, 6, 7\). Количество таких чисел равно 5.

2)
Начнём с первого неравенства \(8x + 20 \geq 3x + 5\). Переносим все члены с \(x\) в левую часть, а свободные в правую: \(8x — 3x \geq 5 — 20\), что даёт \(5x \geq -15\). Делим обе части на 5: \(x \geq \frac{-15}{5}\), то есть \(x \geq -3\).

Во втором неравенстве \(2x + 1 \geq 4x — 5\) переносим все с \(x\) в левую часть, свободные в правую: \(2x — 4x \geq -5 — 1\), что упрощается до \(-2x \geq -6\). Чтобы избавиться от минуса перед \(x\), делим обе части на \(-2\) и меняем знак неравенства: \(x \leq \frac{-6}{-2}\), то есть \(x \leq 3\).

Решение системы — пересечение интервалов \(x \geq -3\) и \(x \leq 3\), то есть \(-3 \leq x \leq 3\). Целые числа в этом диапазоне: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\). Их количество равно 7.

3)
Рассмотрим первое неравенство \(5x — 1 > 2x + 4\). Переносим все с \(x\) в левую часть, свободные в правую: \(5x — 2x > 4 + 1\), что даёт \(3x > 5\). Делим обе части на 3: \(x > \frac{5}{3}\).

Во втором неравенстве \(10x — 5 \leq 3x + 13\) переносим все с \(x\) в левую часть, свободные в правую: \(10x — 3x \leq 13 + 5\), что упрощается до \(7x \leq 18\). Делим обе части на 7: \(x \leq \frac{18}{7}\).

Пересечение решений — интервал \(\frac{5}{3} < x \leq \frac{18}{7}\). Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, только \(2\). Количество таких чисел равно 1.

4)
Рассмотрим первое неравенство \(\frac{5x + 3}{2} — 1 \geq 3x\). Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \(5x + 3 — 2 \geq 6x\), что упрощается до \(5x + 1 \geq 6x\). Переносим \(6x\) в левую часть: \(5x — 6x \geq -1\), то есть \(-x \geq -1\). Делим обе части на \(-1\), меняя знак неравенства: \(x \leq 1\).

Во втором неравенстве \((x + 1)(x — 4) — 2 \leq (x + 2)(x — 3) — x\) раскроем скобки: \(x^2 — 4x + x — 4 — 2 \leq x^2 — 3x + 2x — 6 — x\). Упростим левую часть: \(x^2 — 3x — 6\). Упростим правую часть: \(x^2 — 2x — 6\). Переносим все в одну сторону: \(x^2 — 3x — 6 \leq x^2 — 2x — 6\). Вычитаем \(x^2\) и \(-6\) с обеих частей: \(-3x \leq -2x\). Переносим: \(-3x + 2x \leq 0\), то есть \(-x \leq 0\), значит \(x \geq 0\).

Пересечение решений: \(0 \leq x \leq 1\). Целые числа: \(0, 1\). Количество равно 2.