ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 49 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство: 1) \(-3 \leq 6x — 4 \leq 2\); 2) \(-1 \leq 3 — 10x \leq 5\)?

1) \(-3 \leq 6x — 4 \leq 2\)
Переносим -4: \(-3 + 4 \leq 6x \leq 2 + 4\)
\(1 \leq 6x \leq 6\)
Делим на 6: \(\frac{1}{6} \leq x \leq 1\)
Целые решения: \(x = 1\)
Ответ: 1

2) \(-1 \leq 3 — 10x \leq 5\)
Переносим 3: \(-1 — 3 \leq -10x \leq 5 — 3\)
\(-4 \leq -10x \leq 2\)
Делим на -10 (знак меняется): \(\frac{4}{10} \geq x \geq -\frac{2}{10}\)
\(0.4 \geq x \geq -0.2\)
Целые решения: \(x = 0\)
Ответ: 1

1) Рассмотрим двойное неравенство \(-3 \leq 6x — 4 \leq 2\). В данном случае нам нужно найти все значения \(x\), которые одновременно удовлетворяют обеим частям неравенства. Сначала упростим выражение, чтобы изолировать переменную \(x\). Для этого прибавим 4 к каждой части неравенства, учитывая, что операция прибавления одинакового числа ко всем частям неравенства не меняет направления неравенств. Получаем: \(-3 + 4 \leq 6x — 4 + 4 \leq 2 + 4\), что упрощается до \(1 \leq 6x \leq 6\).

Далее нам нужно избавиться от коэффициента 6 перед \(x\). Для этого разделим все части неравенства на 6. Поскольку 6 — положительное число, направление неравенств останется прежним. Получаем: \(\frac{1}{6} \leq x \leq 1\). Теперь мы видим, что \(x\) должен быть больше или равен \(\frac{1}{6}\) и одновременно меньше или равен 1. Следующий шаг — определить целочисленные значения \(x\), которые удовлетворяют этому условию. Целые числа между \(\frac{1}{6}\) и 1 включительно — это только число 1, так как \(\frac{1}{6}\) примерно 0.166, а ближайшее целое число больше или равно этой величине — 1.

Таким образом, единственным целым решением неравенства является \(x = 1\). Других целых чисел, удовлетворяющих неравенству, нет. Ответ: 1.

2) Рассмотрим двойное неравенство \(-1 \leq 3 — 10x \leq 5\). Здесь также нужно найти все значения \(x\), при которых обе части неравенства выполняются одновременно. Начнём с того, что хотим изолировать \(x\). Для этого вычтем 3 из всех частей неравенства, что не изменит направление неравенств, так как вычитание одинакового числа из всех частей неравенства сохраняет их направления. Получаем: \(-1 — 3 \leq 3 — 10x — 3 \leq 5 — 3\), что упрощается до \(-4 \leq -10x \leq 2\).

Следующим шагом разделим все части неравенства на \(-10\), чтобы получить \(x\) без коэффициента. Поскольку деление на отрицательное число меняет направление неравенств, нужно обратить знаки: \(\frac{-4}{-10} \geq x \geq \frac{2}{-10}\). Упрощая дроби, получаем \(0.4 \geq x \geq -0.2\). Это означает, что \(x\) находится между \(-0.2\) и \(0.4\), включая границы.

Теперь определим целочисленные значения, которые удовлетворяют этому интервалу. Единственное целое число, которое лежит в промежутке от \(-0.2\) до \(0.4\), — это 0. Других целых чисел в этом диапазоне нет. Следовательно, ответ — 1.