ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 5 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:
1) \(ab(a + b) ≤ a^3 + b^3, при a ≥ 0, b ≥ 0\);
2)\( m^3 + m^2 — m — 1 > 0, если m > 1\) .

1) Рассмотрим разность \( ab(a + b) — (a^3 + b^3) \). Преобразуем её: \( ab(a + b) — (a^3 + b^3) = ab(a + b) — (a + b)(a^2 — ab + b^2) =\)
\(= (a + b)(ab — a^2 + ab — b^2) = (a + b)(-a^2 + 2ab — b^2)=\)
\(= -(a + b)(a — b)^2 \). Так как \( a \geq 0 \), \( b \geq 0 \), то \( a + b \geq 0 \), а \( (a — b)^2 \geq 0 \), следовательно, \( -(a + b)(a — b)^2 \leq 0 \). Значит, \( ab(a + b) \leq a^3 + b^3 \).

2) Преобразуем выражение \( m^3 + m^2 — m — 1 \). Факторизуем его: \( m^3 + m^2 — m — 1 = (m + 1)(m^2 — 1) = (m + 1)(m — 1)(m + 1)=\)
\( = (m + 1)^2 (m — 1) \). При \( m > 1 \) имеем \( m + 1 > 0 \) и \( m — 1 > 0 \), поэтому \( (m + 1)^2 (m — 1) > 0 \), что и требовалось доказать.

1) Докажем неравенство \( ab(a + b) \leq a^3 + b^3 \) при условии \( a \geq 0 \), \( b \geq 0 \). Для этого рассмотрим разность между левой и правой частями неравенства, чтобы показать, что она неположительна. Вычислим выражение \( ab(a + b) — (a^3 + b^3) \).

Начнем с раскрытия и преобразования: \( ab(a + b) — (a^3 + b^3) = aba + abb — a^3 — b^3 = ab(a + b) — a^3 — b^3 \). Теперь заметим, что \( a^3 + b^3 \) можно представить в виде \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \), подставим это в выражение: \( ab(a + b) — (a + b)(a^2 — ab + b^2) \).

Вынесем общий множитель \( (a + b) \): \( (a + b)(ab — (a^2 — ab + b^2)) = (a + b)(ab — a^2 + ab — b^2)=\)
\( = (a + b)(-a^2 + 2ab — b^2) \). Обратите внимание, что \( -a^2 + 2ab — b^2 = -(a^2 — 2ab + b^2) = -(a — b)^2 \), следовательно, выражение принимает вид: \( (a + b) \cdot (-(a — b)^2) = -(a + b)(a — b)^2 \).

Проанализируем знак полученного выражения. Так как \( a \geq 0 \) и \( b \geq 0 \), то \( a + b \geq 0 \). Также \( (a — b)^2 \geq 0 \) при любых значениях \( a \) и \( b \), поскольку это квадрат. Таким образом, произведение \( (a + b)(a — b)^2 \geq 0 \), а с учетом знака минус перед ним: \( -(a + b)(a — b)^2 \leq 0 \). Это означает, что \( ab(a + b) — (a^3 + b^3) \leq 0 \), или \( ab(a + b) \leq a^3 + b^3 \), что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство \( m^3 + m^2 — m — 1 > 0 \), если \( m > 1 \). Для этого преобразуем левую часть выражения, чтобы показать, что она положительна при заданном условии.

Попробуем разложить выражение \( m^3 + m^2 — m — 1 \) на множители. Сгруппируем члены: \( (m^3 + m^2) + (-m — 1) \). Из первой группы вынесем \( m^2 \): \( m^2(m + 1) \), из второй группы вынесем \(-1\): \( -1(m + 1) \). Получаем: \( m^2(m + 1) — 1(m + 1) = (m + 1)(m^2 — 1) \).

Теперь заметим, что \( m^2 — 1 = (m — 1)(m + 1) \), следовательно, выражение принимает вид: \( (m + 1)(m + 1)(m — 1) = (m + 1)^2 (m — 1) \). Таким образом, \( m^3 + m^2 — m — 1 = (m + 1)^2 (m — 1) \).

Проанализируем знак этого выражения при \( m > 1 \). Если \( m > 1 \), то \( m + 1 > 2 > 0 \), следовательно, \( (m + 1)^2 > 0 \). Также \( m — 1 > 0 \). Таким образом, произведение \( (m + 1)^2 (m — 1) > 0 \), что означает, что \( m^3 + m^2 — m — 1 > 0 \), что и требовалось доказать.