ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 51 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1) \(\{ x < 5, x > 3 \}\);

2) \(\{ 3 — 4x < 9, 7x — 8 > 2, 2x — 7 > 6, 0,6 — 4x \geq 2,2, x < 4,7 \}\);

3) \(\{ 2,5x — 2 < 8, 8,1x + 9 < 1,6x + 3 \}\).

1) \(3 < x < 4{,}7\)

2) Решим каждое неравенство отдельно:

\(2x — 7 > 6 \Rightarrow 2x > 13 \Rightarrow x > \frac{13}{2} = 6{,}5\)

\(3 — 4x < 9 \Rightarrow -4x < 6 \Rightarrow x > -\frac{6}{4} = -1{,}5\)

\(7x — 8 > 2 \Rightarrow 7x > 10 \Rightarrow x > \frac{10}{7}\)

\(0{,}6 — 4x \geq 2{,}2 \Rightarrow -4x \geq 1{,}6 \Rightarrow x \leq -\frac{1{,}6}{4} = -0{,}4\)

\(x < 4{,}7\)

Пересечение всех условий: \(x > 6{,}5\) и \(x \leq -0{,}4\) невозможно, значит решения нет.

Ответ: \(\emptyset\)

3) Решим каждое неравенство:

\(2{,}5x — 2 < 8 \Rightarrow 2{,}5x < 10 \Rightarrow x < \frac{10}{2{,}5} = 4\)

\(3{,}1x + 9 < 1{,}6x + 3 \Rightarrow 1{,}5x < -6 \Rightarrow x < \frac{-6}{1{,}5} = -4\)

Пересечение: \(x < 4\) и \(x < -4\) даёт \(x < -4\)

Ответ: \(x < -4\)

1) Система неравенств состоит из двух частей: \(x < 5\) и \(x > 3\). Чтобы найти множество решений, нужно определить пересечение этих двух условий. Первое ограничивает \(x\) сверху числом 5, второе — снизу числом 3. Значит, \(x\) должно быть одновременно меньше 5 и больше 3. Это означает, что все значения \(x\), которые удовлетворяют системе, лежат между 3 и 5. Однако в условии дополнительно дано \(x < 4{,}7\), что сужает верхнюю границу до 4{,}7. Таким образом, итоговое множество решений — это все числа \(x\), для которых верно неравенство \(3 < x < 4{,}7\).

2) Рассмотрим систему из нескольких неравенств: \(2x — 7 > 6\), \(3 — 4x < 9\), \(7x — 8 > 2\), \(0{,}6 — 4x \geq 2{,}2\) и \(x < 4{,}7\). Каждое из них решаем по отдельности. Первое неравенство преобразуем так: \(2x — 7 > 6\) даёт \(2x > 13\), откуда \(x > \frac{13}{2} = 6{,}5\). Второе: \(3 — 4x < 9\) эквивалентно \(-4x < 6\), значит \(x > -\frac{6}{4} = -1{,}5\). Третье: \(7x — 8 > 2\) преобразуется в \(7x > 10\), то есть \(x > \frac{10}{7}\). Четвёртое: \(0{,}6 — 4x \geq 2{,}2\) даёт \(-4x \geq 1{,}6\), следовательно \(x \leq -\frac{1{,}6}{4} = -0{,}4\). Пятое: \(x < 4{,}7\) — просто верхняя граница.

Теперь проанализируем пересечения. Из первых трёх неравенств следует, что \(x\) должен быть больше наибольшего из чисел \(6{,}5\), \(-1{,}5\) и \(\frac{10}{7}\) (примерно 1{,}43), то есть \(x > 6{,}5\). Но четвёртое неравенство требует \(x \leq -0{,}4\), что противоречит предыдущему условию. Пятое ограничение \(x < 4{,}7\) также не совместимо с \(x > 6{,}5\). Следовательно, нет таких \(x\), которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам, и решение системы пусто: \(\emptyset\).

3) В третьей системе неравенств: \(2{,}5x — 2 < 8\) и \(3{,}1x + 9 < 1{,}6x + 3\), решаем каждое отдельно. Первое неравенство: \(2{,}5x — 2 < 8\) приводит к \(2{,}5x < 10\), откуда \(x < \frac{10}{2{,}5} = 4\). Второе: \(3{,}1x + 9 < 1{,}6x + 3\) перепишем как \(3{,}1x — 1{,}6x < 3 — 9\), то есть \(1{,}5x < -6\), значит \(x < \frac{-6}{1{,}5} = -4\). Множество решений — пересечение условий \(x < 4\) и \(x < -4\), что даёт \(x < -4\). Это и есть ответ для третьей системы.