ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 52 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) \(\sqrt{7x — 8} + \sqrt{3x — 14}\);

2) \(\sqrt{2x + 3} — \sqrt{9 — 2x}\);

3) \(\sqrt{2x — 5} + \sqrt{2 — x}\)?

1) Выражение имеет смысл при \(7x — 8 \geq 0\) и \(3x — 14 \geq 0\),
то есть при \(x \geq \frac{8}{7}\) и \(x \geq \frac{14}{3}\).
Ответ: \(x \geq \frac{14}{3}\).

2) Выражение имеет смысл при \(2x + 3 \geq 0\) и \(9 — 2x > 0\),
то есть при \(x \geq -\frac{3}{2}\) и \(x < \frac{9}{2}\).
Ответ: \(-\frac{3}{2} \leq x < \frac{9}{2}\).

3) Выражение имеет смысл при \(2x — 5 \geq 0\) и \(2 — x \geq 0\),
то есть при \(x \geq \frac{5}{2}\) и \(x \leq 2\).
Ответ: \(x \in \emptyset\) (множество пусто).

Для первого выражения \( \sqrt{7x — 8} + \sqrt{3x — 14} \) необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными, так как корень квадратный определён только для чисел, больших или равных нулю. Значит, должны выполняться неравенства \(7x — 8 \geq 0\) и \(3x — 14 \geq 0\). Решая первое неравенство, получаем \(7x \geq 8\), откуда \(x \geq \frac{8}{7}\). Аналогично, из второго неравенства следует \(3x \geq 14\), значит \(x \geq \frac{14}{3}\). Для того чтобы оба корня были определены, \(x\) должен удовлетворять обоим условиям одновременно, то есть быть больше или равен большему из двух значений. Поскольку \(\frac{14}{3} > \frac{8}{7}\), окончательное условие — \(x \geq \frac{14}{3}\).

Во втором выражении \( \sqrt{2x + 3} — \frac{1}{\sqrt{9 — 2x}} \) есть два условия: подкоренное выражение в первом корне должно быть неотрицательным, а выражение под вторым корнем в знаменателе должно быть строго положительным, чтобы знаменатель не был равен нулю. Значит, должно выполняться \(2x + 3 \geq 0\) и \(9 — 2x > 0\). Решая первое, получаем \(x \geq -\frac{3}{2}\). Из второго следует \(9 > 2x\), то есть \(x < \frac{9}{2}\). Таким образом, область допустимых значений переменной — все \(x\), удовлетворяющие двойному неравенству \(-\frac{3}{2} \leq x < \frac{9}{2}\).

В третьем выражении \( \sqrt{2x — 5} + \sqrt{2 — x} \) оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это даёт систему неравенств: \(2x — 5 \geq 0\) и \(2 — x \geq 0\). Решая первое, получаем \(x \geq \frac{5}{2}\), а из второго — \(x \leq 2\). Для существования значения \(x\), удовлетворяющего обоим условиям, нужно, чтобы эти интервалы пересекались. Однако \(x \geq \frac{5}{2} = 2{,}5\) и \(x \leq 2\) — это несовместимые условия, так как \(2{,}5 > 2\). Следовательно, таких \(x\) нет, и множество допустимых значений пусто, то есть \(x \in \emptyset\).