ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 54 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x| < 3\);

2) \(|x — 1| \leq 4,2\);

3) \(|7x + 8| \leq 2\);

4) \(|10 — 3x| < 5\).

1) \(|x| < 3\), значит \(-3 < x < 3\).

2) \(|x — 1| \leq 4,2\), значит \(-4,2 \leq x — 1 \leq 4,2\), откуда \(-3,2 \leq x \leq 5,2\).

3) \(|7x + 8| \leq 2\), значит \(-2 \leq 7x + 8 \leq 2\), откуда \(-10 \leq 7x \leq -6\), значит \(-\frac{10}{7} \leq x \leq -\frac{6}{7}\).

4) \(|10 — 3x| < 5\), значит \(-5 < 10 — 3x < 5\), откуда \(-15 < -3x < -5\), значит \(\frac{5}{3} < x < 5\).

1) \(|x| < 3\). По определению модуля, это неравенство эквивалентно двойному неравенству \(-3 < x < 3\). Значит, множество решений — все числа \(x\), лежащие между \(-3\) и \(3\), не включая концы.
Ответ: \(x \in (-3; 3)\).

2) \(|x — 1| \leq 4,2\). Распишем по определению модуля: \(-4,2 \leq x — 1 \leq 4,2\). Прибавим к каждой части неравенства 1: \(-4,2 + 1 \leq x \leq 4,2 + 1\), то есть \(-3,2 \leq x \leq 5,2\).
Ответ: \(x \in [-3,2; 5,2]\).

3) \(|7x + 8| \leq 2\). Распишем как двойное неравенство: \(-2 \leq 7x + 8 \leq 2\). Вычтем 8 из каждой части: \(-2 — 8 \leq 7x \leq 2 — 8\), то есть \(-10 \leq 7x \leq -6\). Разделим на 7: \(-\frac{10}{7} \leq x \leq -\frac{6}{7}\).
Ответ: \(x \in \left[-\frac{10}{7}; -\frac{6}{7}\right]\).

4) \(|10 — 3x| < 5\). Распишем как двойное неравенство: \(-5 < 10 — 3x < 5\). Вычтем 10 из каждой части: \(-5 — 10 < -3x < 5 — 10\), то есть \(-15 < -3x < -5\). Разделим на \(-3\), при этом знак неравенства меняется: \(\frac{15}{3} > x > \frac{5}{3}\), то есть \(5 > x > \frac{5}{3}\). Запишем в обычном порядке: \(\frac{5}{3} < x < 5\).
Ответ: \(x \in \left(\frac{5}{3}; 5\right)\).