ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 56 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(|x| + |x — 4| = 5\);

2) \(|x + 1| + |x — 3| = 4\);

3) \(|x| — |x — 5| = 6\);

4) \(|2x — 3| — |x + 2| = 4x + 5\).

1) Рассмотрим три случая для \(x\):
Если \(x \geq 4\), то \(x + (x — 4) = 5\), значит \(2x — 4 = 5\), откуда \(x = 4.5\).
Если \(0 \leq x < 4\), то \(x + (4 — x) = 5\), значит \(4 = 5\) — нет решений.
Если \(x < 0\), то \(-x + (4 — x) = 5\), значит \(-2x + 4 = 5\), откуда \(x = -\frac{1}{2}\).
Ответ: \(x = -\frac{1}{2}, 4.5\).

2) Рассмотрим три случая для \(x\):
Если \(x \geq 3\), то \((x + 1) + (x — 3) = 4\), значит \(2x — 2 = 4\), откуда \(x = 3\).
Если \(-1 \leq x < 3\), то \((x + 1) + (3 — x) = 4\), значит \(4 = 4\), все \(x\) подходят.
Если \(x < -1\), то \(-(x + 1) + (3 — x) = 4\), значит \(-2x + 2 = 4\), откуда \(x = -1\).
Ответ: \(x \in [-1, 3]\).

3) Рассмотрим три случая для \(x\):
Если \(x \geq 5\), то \(x — (x — 5) = 6\), значит \(5 = 6\) — нет решений.
Если \(0 \leq x < 5\), то \(x — (5 — x) = 6\), значит \(2x — 5 = 6\), откуда \(x = 5.5\) — не подходит.
Если \(x < 0\), то \(-x — (5 — x) = 6\), значит \(-5 = 6\) — нет решений.
Ответ: решений нет, \(x \in \emptyset\).

4) Рассмотрим три случая для \(x\):
Если \(x \geq \frac{3}{2}\), то \((2x — 3) — (x + 2) = 4x + 5\), значит \(x — 5 = 4x + 5\), откуда \(x = -\frac{10}{3}\) — не подходит.
Если \(-2 \leq x < \frac{3}{2}\), то \((3 — 2x) — (x + 2) = 4x + 5\), значит \(1 — 3x = 4x + 5\), откуда \(x = -\frac{4}{7}\).
Если \(x < -2\), то \((3 — 2x) — (-(x + 2)) = 4x + 5\), значит \(5 — x = 4x + 5\), откуда \(x = 0\) — не подходит.
Ответ: \(x = -\frac{4}{7}\).

1) Уравнение: \(|x| + |x — 4| = 5\). Рассмотрим три случая по знакам выражений под модулями.

Если \(x \geq 4\), тогда \(|x| = x\), \(|x — 4| = x — 4\). Подставляем:
\(x + (x — 4) = 5\),
\(2x — 4 = 5\),
\(2x = 9\),
\(x = 4.5\).

Если \(0 \leq x < 4\), тогда \(|x| = x\), \(|x — 4| = 4 — x\). Подставляем:
\(x + (4 — x) = 5\),
\(4 = 5\) — противоречие, решений нет.

Если \(x < 0\), тогда \(|x| = -x\), \(|x — 4| = 4 — x\). Подставляем:
\(-x + (4 — x) = 5\),
\(-2x + 4 = 5\),
\(-2x = 1\),
\(x = -\frac{1}{2}\).

Ответ: \(x = -\frac{1}{2}, 4.5\).

2) Уравнение: \(|x + 1| + |x — 3| = 4\). Рассмотрим три случая.

Если \(x \geq 3\), тогда \(|x + 1| = x + 1\), \(|x — 3| = x — 3\). Подставляем:
\((x + 1) + (x — 3) = 4\),
\(2x — 2 = 4\),
\(2x = 6\),
\(x = 3\).

Если \(-1 \leq x < 3\), тогда \(|x + 1| = x + 1\), \(|x — 3| = 3 — x\). Подставляем:
\((x + 1) + (3 — x) = 4\),
\(4 = 4\),
\(x \in [-1, 3)\).

Если \(x < -1\), тогда \(|x + 1| = -(x + 1)\), \(|x — 3| = 3 — x\). Подставляем:
\(-(x + 1) + (3 — x) = 4\),
\(-x — 1 + 3 — x = 4\),
\(-2x + 2 = 4\),
\(-2x = 2\),
\(x = -1\).

Ответ: \(x \in [-1, 3]\).

3) Уравнение: \(|x| — |x — 5| = 6\). Рассмотрим три случая.

Если \(x \geq 5\), тогда \(|x| = x\), \(|x — 5| = x — 5\). Подставляем:
\(x — (x — 5) = 6\),
\(5 = 6\) — противоречие, решений нет.

Если \(0 \leq x < 5\), тогда \(|x| = x\), \(|x — 5| = 5 — x\). Подставляем:
\(x — (5 — x) = 6\),
\(x — 5 + x = 6\),
\(2x — 5 = 6\),
\(2x = 11\),
\(x = 5.5\) — не входит в интервал, решений нет.

Если \(x < 0\), тогда \(|x| = -x\), \(|x — 5| = 5 — x\). Подставляем:
\(-x — (5 — x) = 6\),
\(-x — 5 + x = 6\),
\(-5 = 6\) — противоречие, решений нет.

Ответ: решений нет, \(x \in \emptyset\).

4) Уравнение: \(|2x — 3| — |x + 2| = 4x + 5\). Рассмотрим три случая.

Если \(x \geq \frac{3}{2}\), тогда \(|2x — 3| = 2x — 3\), \(|x + 2| = x + 2\). Подставляем:
\((2x — 3) — (x + 2) = 4x + 5\),
\(2x — 3 — x — 2 = 4x + 5\),
\(x — 5 = 4x + 5\),
\(-3x = 10\),
\(x = -\frac{10}{3}\) — не входит в интервал, решений нет.

Если \(-2 \leq x < \frac{3}{2}\), тогда \(|2x — 3| = 3 — 2x\), \(|x + 2| = x + 2\). Подставляем:
\((3 — 2x) — (x + 2) = 4x + 5\),
\(3 — 2x — x — 2 = 4x + 5\),
\(1 — 3x = 4x + 5\),
\(-7x = 4\),
\(x = -\frac{4}{7}\).

Если \(x < -2\), тогда \(|2x — 3| = 3 — 2x\), \(|x + 2| = -(x + 2)\). Подставляем:
\((3 — 2x) — (-(x + 2)) = 4x + 5\),
\(3 — 2x + x + 2 = 4x + 5\),
\(5 — x = 4x + 5\),
\(-5x = 0\),
\(x = 0\) — не входит в интервал, решений нет.

Ответ: \(x = -\frac{4}{7}\).