Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 57 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(|x + 2| + 3x \geq 5\);
2) \(|x — 6| — 7x < 18\);
3) \(|x + 1| + |x — 1| \leq 2\);
4) \(|x + 3| + |x — 4| > 6\);
5) \(|x + 2,5| — |x — 1,5| \leq 3\);
6) \(|3x + 8| — |2x — 7| > 4\).
1) Решение по случаям:
Если \(x \geq -2\), тогда \(x + 2 + 3x \geq 5 \Rightarrow 4x \geq 3 \Rightarrow x \geq \frac{3}{4}\).
Если \(x < -2\), тогда \(-(x + 2) + 3x \geq 5 \Rightarrow 2x — 2 \geq 5 \Rightarrow 2x \geq 7 \Rightarrow x \geq \frac{7}{2}\) (противоречие с \(x < -2\)).
Ответ: \(x \in \left[\frac{3}{4}; +\infty\right)\).
2) Если \(x \geq 6\), тогда \(x — 6 — 7x < 18 \Rightarrow -6x < 24 \Rightarrow x > -4\) (все \(x \geq 6\) подходят).
Если \(x < 6\), тогда \(-(x — 6) — 7x < 18 \Rightarrow -8x + 6 < 18 \Rightarrow -8x < 12 \Rightarrow x > -\frac{3}{2}\).
Ответ: \(x \in \left(-\frac{3}{2}; +\infty\right)\).
3) Рассмотрим интервалы:
Если \(x \geq 1\), \(|x+1| + |x-1| = (x+1)+(x-1) = 2x \leq 2 \Rightarrow x \leq 1\) — значит \(x=1\).
Если \(-1 \leq x < 1\), \(|x+1| + |x-1| = (x+1)-(x-1) = 2 \leq 2\) — все \(x\) из этого интервала подходят.
Если \(x < -1\), \(|x+1| + |x-1| = -(x+1)-(x-1) = -2x \leq 2 \Rightarrow x \geq -1\) — значит \(x=-1\).
Ответ: \(x \in [-1; 1]\).
4) Если \(x \geq 4\), \(|x+3| + |x-4| = (x+3)+(x-4) = 2x — 1 > 6 \Rightarrow x > \frac{7}{2}\) — все \(x \geq 4\) подходят.
Если \(-3 \leq x < 4\), \(|x+3| + |x-4| = (x+3)-(x-4) = 7 > 6\) — все \(x\) из этого интервала подходят.
Если \(x < -3\), \(|x+3| + |x-4| = -(x+3)-(x-4) = -2x + 1 > 6 \Rightarrow x < -\frac{5}{2}\).
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).
5) Если \(x \geq 1.5\), \(|x+2.5| — |x-1.5| = (x+2.5)-(x-1.5) = 4 \leq 3\) — не выполняется, нет решений.
Если \(-2.5 \leq x < 1.5\), \(|x+2.5| — |x-1.5| = (x+2.5)+(x-1.5) = 2x + 1 \leq 3 \Rightarrow x \leq 1\).
Если \(x < -2.5\), \(|x+2.5| — |x-1.5| = -(x+2.5)+(x-1.5) = -4 \leq 3\) — всегда верно.
Ответ: \(x \in (-\infty; 1]\).
6) Если \(x \geq 3.5\), \(|3x+8| — |2x-7| = (3x+8)-(2x-7) = x + 15 > 4 \Rightarrow x > -11\) — все \(x \geq 3.5\) подходят.
Если \(-\frac{8}{3} \leq x < 3.5\), \(|3x+8| — |2x-7| = (3x+8)+(2x-7) = 5x + 1 > 4 \Rightarrow x > \frac{3}{5} = 0.6\).
Если \(x < -\frac{8}{3}\), \(|3x+8| — |2x-7| = -(3x+8)+(2x-7) = -x — 15 > 4 \Rightarrow x < -19\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -19) \cup (0.6; +\infty)\).
1) Решить неравенство \( |x + 2| + 3x \geq 5 \).
Число под знаком модуля: \(x + 2\).
Рассмотрим два случая:
Если \(x + 2 \geq 0\), то есть \(x \geq -2\), тогда \( |x + 2| = x + 2\). Подставляем в неравенство:
\( (x + 2) + 3x \geq 5 \Rightarrow 4x + 2 \geq 5 \Rightarrow 4x \geq 3 \Rightarrow x \geq \frac{3}{4} = 0,75\).
Если \(x + 2 < 0\), то есть \(x < -2\), тогда \( |x + 2| = -(x + 2)\). Подставляем:
\(- (x + 2) + 3x \geq 5 \Rightarrow -x — 2 + 3x \geq 5 \Rightarrow 2x — 2 \geq 5 \Rightarrow 2x \geq 7 \Rightarrow x \geq 3,5\).
Это противоречит условию \(x < -2\), значит решений в этом случае нет.
Ответ: \(x \in [0,75; +\infty)\).
2) Решить неравенство \( |x — 6| — 7x < 18 \).
Число под знаком модуля: \(x — 6\).
Рассмотрим два случая:
Если \(x — 6 \geq 0\), то есть \(x \geq 6\), тогда \( |x — 6| = x — 6\). Подставляем:
\((x — 6) — 7x < 18 \Rightarrow -6x — 6 < 18 \Rightarrow -6x < 24 \Rightarrow x > -4\).
Все \(x \geq 6\) удовлетворяют неравенству.
Если \(x — 6 < 0\), то есть \(x < 6\), тогда \( |x — 6| = -(x — 6) = 6 — x\). Подставляем:
\((6 — x) — 7x < 18 \Rightarrow 6 — 8x < 18 \Rightarrow -8x < 12 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} = -1,5\).
Ответ: \(x \in (-1,5; +\infty)\).
3) Решить неравенство \( |x + 1| + |x — 1| \leq 2 \).
Числа под знаком модуля: \(x + 1\) и \(x — 1\).
Рассмотрим три случая:
Если \(x \geq 1\), то \( |x + 1| = x + 1\), \( |x — 1| = x — 1\). Тогда:
\((x + 1) + (x — 1) \leq 2 \Rightarrow 2x \leq 2 \Rightarrow x \leq 1\).
Из условия \(x \geq 1\) и \(x \leq 1\) получаем \(x = 1\).
Если \(-1 \leq x < 1\), то \( |x + 1| = x + 1\), \( |x — 1| = -(x — 1) = 1 — x\). Тогда:
\((x + 1) + (1 — x) \leq 2 \Rightarrow 2 \leq 2\) — верно для всех \(x\) из этого интервала.
Если \(x < -1\), то \( |x + 1| = -(x + 1) = -x — 1\), \( |x — 1| = -(x — 1) = -x + 1\). Тогда:
\((-x — 1) + (-x + 1) \leq 2 \Rightarrow -2x \leq 2 \Rightarrow x \geq -1\).
Из условия \(x < -1\) и \(x \geq -1\) — противоречие, решений нет.
Ответ: \(x \in [-1; 1]\).
4) Решить неравенство \( |x + 3| + |x — 4| > 6 \).
Числа под знаком модуля: \(x + 3\) и \(x — 4\).
Рассмотрим три случая:
Если \(x \geq 4\), то \( |x + 3| = x + 3\), \( |x — 4| = x — 4\). Тогда:
\((x + 3) + (x — 4) > 6 \Rightarrow 2x — 1 > 6 \Rightarrow 2x > 7 \Rightarrow x > 3,5\).
Все \(x \geq 4\) подходят.
Если \(-3 \leq x < 4\), то \( |x + 3| = x + 3\), \( |x — 4| = -(x — 4) = 4 — x\). Тогда:
\((x + 3) + (4 — x) > 6 \Rightarrow 7 > 6\) — верно для всех \(x\) из этого интервала.
Если \(x < -3\), то \( |x + 3| = -(x + 3) = -x — 3\), \( |x — 4| = -(x — 4) = -x + 4\). Тогда:
\((-x — 3) + (-x + 4) > 6 \Rightarrow -2x + 1 > 6 \Rightarrow -2x > 5 \Rightarrow x < -\frac{5}{2} = -2,5\).
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).
5) Решить неравенство \( |x + 2,5| — |x — 1,5| \leq 3 \).
Числа под знаком модуля: \(x + 2,5\) и \(x — 1,5\).
Рассмотрим три случая:
Если \(x \geq 1,5\), то \( |x + 2,5| = x + 2,5\), \( |x — 1,5| = x — 1,5\). Тогда:
\((x + 2,5) — (x — 1,5) \leq 3 \Rightarrow 4 \leq 3\) — неверно, решений нет.
Если \(-2,5 \leq x < 1,5\), то \( |x + 2,5| = x + 2,5\), \( |x — 1,5| = -(x — 1,5) = 1,5 — x\). Тогда:
\((x + 2,5) — (1,5 — x) \leq 3 \Rightarrow 2x + 1 \leq 3 \Rightarrow 2x \leq 2 \Rightarrow x \leq 1\).
Если \(x < -2,5\), то \( |x + 2,5| = -(x + 2,5) = -x — 2,5\), \( |x — 1,5| = -(x — 1,5) = -x + 1,5\). Тогда:
\((-x — 2,5) — (-x + 1,5) \leq 3 \Rightarrow -4 \leq 3\) — верно для всех \(x\) из этого интервала.
Ответ: \(x \in (-\infty; 1]\).
6) Решить неравенство \( |3x + 8| — |2x — 7| > 4 \).
Числа под знаком модуля: \(3x + 8\) и \(2x — 7\).
Рассмотрим три случая:
Если \(x \geq 3,5\), то \( |3x + 8| = 3x + 8\), \( |2x — 7| = 2x — 7\). Тогда:
\((3x + 8) — (2x — 7) > 4 \Rightarrow x + 15 > 4 \Rightarrow x > -11\).
Все \(x \geq 3,5\) подходят.
Если \(-\frac{8}{3} \leq x < 3,5\), то \( |3x + 8| = 3x + 8\), \( |2x — 7| = -(2x — 7) = 7 — 2x\). Тогда:
\((3x + 8) + (7 — 2x) > 4 \Rightarrow 5x + 15 > 4 \Rightarrow 5x > -11 \Rightarrow x > -\frac{11}{5} = -2,2\).
Так как \(x \geq -\frac{8}{3} \approx -2,67\), пересечение с \(x > -2,2\) даёт \(x > -2,2\).
Если \(x < -\frac{8}{3}\), то \( |3x + 8| = -(3x + 8) = -3x — 8\), \( |2x — 7| = -(2x — 7) = -2x + 7\). Тогда:
\((-3x — 8) + (-2x + 7) > 4 \Rightarrow -5x — 1 > 4 \Rightarrow -5x > 5 \Rightarrow x < -1\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{8}{3}) \cup (-2,2; +\infty)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.