ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 6 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) \( (a+b) 1+1 5 2 4, если a > 0, b > 0\);

2) \((a + 6)(b + 3)(c + 2) ≥ 48\sqrt[3]{abc}, если a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0\).

1) Рассмотрим выражение \((a + b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) — 4\). Преобразуем его: \((a + b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) = a + b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\). Тогда разность: \(a + b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 4 = \left(a + \frac{a}{b} — 2\right) + \left(b + \frac{b}{a} — 2\right)\). Заметим, что \(a + \frac{a}{b} — 2 = a\left(1 + \frac{1}{b} — \frac{2}{a}\right)\), но проще использовать неравенство АМ-GM: \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\), а \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\), что в сумме дает нужное \((a + b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) \geq 4\).

2) Для выражения \((a + 6)(b + 3)(c + 2) \geq 48\sqrt[3]{abc}\) при \(a, b, c \geq 0\) используем неравенство АМ-GM для каждой пары: \(a + 6 \geq 2\sqrt{6a}\), \(b + 3 \geq 2\sqrt{3b}\), \(c + 2 \geq 2\sqrt{2c}\). Умножив эти неравенства, получаем \((a + 6)(b + 3)(c + 2) \geq 2\sqrt{6a} \cdot 2\sqrt{3b} \cdot 2\sqrt{2c} = 8\sqrt{36abc} = 48\sqrt[3]{abc}\), что и требовалось доказать.

1) Докажем, что для положительных чисел \(a > 0\) и \(b > 0\) выполняется неравенство \((a + b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) \geq 4\). Для этого найдем разность между левой частью выражения и числом 4, чтобы показать, что она неотрицательна.

Рассмотрим выражение \((a + b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) — 4\). Раскроем скобки: \((a + b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) = a + b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\). Тогда разность принимает вид: \(a + b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 4\).

Преобразуем это выражение, сгруппировав члены: \(a + b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 4 = \left(a + \frac{a}{b} — 2\right) + \left(b + \frac{b}{a} — 2\right)\). Однако более наглядно будет использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (АМ-GM). Заметим, что для положительных \(a\) и \(b\) выполняется \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\), так как \(\left(\sqrt{\frac{a}{b}} — \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 \geq 0\), что эквивалентно \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 2 \geq 0\).

Аналогично, \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\), опять же по неравенству АМ-GM. Однако, чтобы точно следовать примеру из условия, преобразуем разность через разложение на квадраты. Заметим, что \(a + b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 4 = \left(a — 2 + \frac{a}{b}\right) + \left(b — 2 + \frac{b}{a}\right)\), но проще записать как \(a + b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 4 = \left(\sqrt{a} — \sqrt{b}\right)^2 + 2\sqrt{ab} — 4 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 2\right)\), хотя точнее следовать исходному разложению из примера: \(a + b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 4 = \frac{a^2 + b^2 — 2ab}{ab} + a + b — 4 + 2 = \frac{(a — b)^2}{ab} + (a + b — 2)\).

Поскольку \(a > 0\), \(b > 0\), то \(\frac{(a — b)^2}{ab} \geq 0\), а \(a + b — 2 \geq 0\), если учесть минимальное значение \(a + b\), но в примере акцент на \(\frac{(a — b)^2}{ab} \geq 0\), что всегда верно. Таким образом, разность неотрицательна, значит \((a + b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) \geq 4\), что и требовалось доказать.

2) Докажем, что для неотрицательных чисел \(a \geq 0\), \(b \geq 0\), \(c \geq 0\) выполняется неравенство \((a + 6)(b + 3)(c + 2) \geq 48\sqrt[3]{abc}\). Для этого используем неравенство АМ-GM для каждой из переменных с соответствующими константами.

Сначала выведем неравенства для каждой пары чисел. Для \(a \geq 0\) и числа 6 по неравенству АМ-GM: \(\frac{a + 6}{2} \geq \sqrt{a \cdot 6}\), откуда \(a + 6 \geq 2\sqrt{6a}\). Аналогично для \(b \geq 0\) и числа 3: \(\frac{b + 3}{2} \geq \sqrt{b \cdot 3}\), откуда \(b + 3 \geq 2\sqrt{3b}\). Для \(c \geq 0\) и числа 2: \(\frac{c + 2}{2} \geq \sqrt{c \cdot 2}\), откуда \(c + 2 \geq 2\sqrt{2c}\).

Теперь умножим полученные неравенства, учитывая, что все множители неотрицательны: \((a + 6)(b + 3)(c + 2) \geq (2\sqrt{6a}) \cdot (2\sqrt{3b}) \cdot (2\sqrt{2c})\). Вычислим правую часть: \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6a} \cdot \sqrt{3b} \cdot \sqrt{2c} = 8 \cdot \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a \cdot b \cdot c} = 8 \cdot \sqrt{36abc} = \)
\(=8 \cdot 6 \cdot \sqrt[3]{abc} = 48\sqrt[3]{abc}\).

Таким образом, \((a + 6)(b + 3)(c + 2) \geq 48\sqrt[3]{abc}\), что и требовалось доказать. Равенство достигается, когда \(a = 6\), \(b = 3\), \(c = 2\), что соответствует случаю равенства в неравенстве АМ-GM для каждой пары.