ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 60 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) корни уравнения \(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 4a — 6 = 0\) принадлежат промежутку \([2; 9]\)?

Дано уравнение \(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 4a — 6 = 0\).

Дискриминант:
\(D = (3a + 1)^2 — 4(2a^2 + 4a — 6) = (a — 5)^2 \geq 0\), значит корни существуют.

Корни:
\(x_1 = \frac{(3a + 1) — (a — 5)}{2} = a + 3\),
\(x_2 = \frac{(3a + 1) + (a — 5)}{2} = 2a — 2\).

Требуем, чтобы \(x_1, x_2 \in [2; 9]\):

1) \(2 \leq a + 3 \leq 9 \Rightarrow -1 \leq a \leq 6\),
2) \(2 \leq 2a — 2 \leq 9 \Rightarrow 2 \leq a \leq 5.5\).

Пересечение: \(a \in [2; 5.5]\).

1) Дано уравнение:
\(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 4a — 6 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (3a + 1)^2 — 4 \cdot (2a^2 + 4a — 6)\),
\(D = 9a^2 + 6a + 1 — 8a^2 — 16a + 24\),
\(D = a^2 — 10a + 25 = (a — 5)^2\).

2) Найдём корни уравнения:
\(x_1 = \frac{(3a + 1) — (a — 5)}{2} = \frac{2a + 6}{2} = a + 3\),
\(x_2 = \frac{(3a + 1) + (a — 5)}{2} = \frac{4a — 4}{2} = 2a — 2\).

3) Оба корня не меньше числа 2:
\(\begin{cases} a + 3 \geq 2 \\ 2a — 2 \geq 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \geq -1 \\ 2a \geq 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \geq -1 \\ a \geq 2 \end{cases} \Rightarrow a \geq 2\).

4) Оба корня не больше числа 9:
\(\begin{cases} a + 3 \leq 9 \\ 2a — 2 \leq 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \leq 6 \\ 2a \leq 11 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \leq 6 \\ a \leq 5.5 \end{cases} \Rightarrow a \leq 5.5\).

Ответ:
\(a \in [2; 5.5]\).