ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 61 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) один из корней уравнения \(2x^2 — (a + 5)x — a^2 — a + 2 = 0\) меньше \(-3\), а другой больше 2?

Дано уравнение \(2x^2 — (a + 5)x — a^2 — a + 2 = 0\).

Корни уравнения:
\(x_1 = -0,5a + 0,5\),
\(x_2 = a + 2\).

Условие:
\(x_1 < -3\) и \(x_2 > 2\).

Решаем неравенства:

1) \(-0,5a + 0,5 < -3 \Rightarrow -0,5a < -3,5 \Rightarrow a > 7\).

2) \(a + 2 > 2 \Rightarrow a > 0\).

Объединяем условия: \(a > 7\).

Проверяем вторую пару условий (обратное):

\(x_1 > -3\) и \(x_2 < 2\),

\(-0,5a + 0,5 > -3 \Rightarrow a < -5\),

\(a + 2 < 2 \Rightarrow a < 0\).

Объединяем: \(a < -5\).

Ответ: \(a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty)\).

Дано уравнение:
\(2x^{2} — (a + 5)x — a^{2} — a + 2 = 0\).

Перепишем уравнение:
\(2x^{2} — (a + 5)x — (a^{2} + a — 2) = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (a + 5)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} + a — 2)\).

Раскроем скобки:
\(D = a^{2} + 10a + 25 + 8a^{2} + 8a — 16\).

Сложим подобные:
\(D = 9a^{2} + 18a + 9 = 9(a^{2} + 2a + 1) = 9(a + 1)^{2}\).

1) Корни уравнения:
\(x_{1} = \frac{(a + 5) — 3(a + 1)}{2 \cdot 2} = \frac{a + 5 — 3a — 3}{4} = \frac{-2a + 2}{4} = -0,5a + 0,5\),
\(x_{2} = \frac{(a + 5) + 3(a + 1)}{2 \cdot 2} = \frac{a + 5 + 3a + 3}{4} = \frac{4a + 8}{4} = a + 2\).

2) Условие: один корень меньше \(-3\), другой больше \(2\):

\[
\begin{cases}
-0,5a + 0,5 < -3 \\
a + 2 > 2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
-0,5a < -3,5 \\
a > 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
a > 7 \\
a > 0
\end{cases}
\Rightarrow a > 7;
\]

\[
\begin{cases}
-0,5a + 0,5 > -3 \\
a + 2 < 2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
-0,5a > -3,5 \\
a < 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
a < -5 \\
a < 0
\end{cases}
\Rightarrow a < -5.
\]

Ответ:
\(a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty)\).