ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 68 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \(f(x) = \sqrt{x + 1}\);

2) \(f(x) = \sqrt{x — 2}\);

3) \(g(x) = 3 — x^2\);

4) \(f(x) = x^2 + 2\);

5) \(\phi(x) = 5 + |x|\);

6) \(h(x) = \sqrt{x^2 + 4} — 5\);

7) \(f(x) = \sqrt{-(x + 1)^2}\);

8) \(f(x) = \sqrt{x — 3} — \sqrt{3 — x}\).

1) \(f(x) = \sqrt{x + 1}\), область значений: \(E(f) = [1; +\infty)\).

2) \(f(x) = \sqrt{x — 2}\), область значений: \(E(f) = [-2; +\infty)\).

3) \(g(x) = 3 — x^2\), область значений: \(E(g) = (-\infty; 3]\).

4) \(f(x) = x^2 + 2\), область значений: \(E(f) = [2; +\infty)\).

5) \(\phi(x) = 5 + |x|\), область значений: \(E(\phi) = [5; +\infty)\).

6) \(h(x) = \sqrt{x^2 + 4} — 5\), область значений: \(E(h) = [-3; +\infty)\).

7) \(f(x) = \sqrt{-(x + 1)^2}\), область значений: \(E(f) = \{0\}\).

8) \(f(x) = \sqrt{x — 3} — \sqrt{3 — x}\), область значений: \(E(f) = \{0\}\).

1) Функция \(f(x) = \sqrt{x + 1}\) определена при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть \(x + 1 \geq 0\). Отсюда следует, что \(x \geq -1\). Таким образом, область определения функции — это все числа \(x\), начиная с \(-1\) и дальше вправо по числовой оси. Значения функции — это корень из чисел, начиная с нуля и выше, то есть \(f(x) \geq 0\). При \(x = -1\) значение функции равно \(0\), а при увеличении \(x\) значение функции растёт без верхней границы. Следовательно, область значений функции — это интервал \([0; +\infty)\).

2) Для функции \(f(x) = \sqrt{x — 2}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x — 2 \geq 0\), откуда \(x \geq 2\). Это значит, что функция определена только для значений \(x\), начиная с 2 и дальше. Значения функции — это корень из чисел, начиная с нуля и выше, то есть \(f(x) \geq 0\). При \(x = 2\) функция равна нулю, а при увеличении \(x\) значение функции растёт до бесконечности. Следовательно, область значений функции — интервал \([0; +\infty)\).

3) Рассмотрим функцию \(g(x) = 3 — x^2\). Поскольку \(x^2 \geq 0\) для всех \(x\), то наибольшее значение функции достигается при \(x = 0\), где \(g(0) = 3\). При увеличении по модулю \(x\) значение \(x^2\) растёт, и \(3 — x^2\) уменьшается. Таким образом, функция принимает все значения меньше или равные 3. Минимального значения у функции нет, так как \(x^2\) может стремиться к бесконечности, и тогда \(g(x)\) стремится к минус бесконечности. Следовательно, область значений функции — это интервал \((-\infty; 3]\).

4) Функция \(f(x) = x^2 + 2\) принимает значения, начиная с минимума, который достигается при \(x = 0\), где \(f(0) = 2\). Поскольку \(x^2 \geq 0\) для всех \(x\), то \(f(x) \geq 2\). При возрастании модуля \(x\) значение функции растёт без ограничения. Следовательно, область значений функции — интервал \([2; +\infty)\).

5) Функция \(\phi(x) = 5 + |x|\) складывает 5 с модулем \(x\), который всегда неотрицателен. Минимальное значение функции достигается при \(x = 0\), где \(\phi(0) = 5\). При изменении \(x\) в любую сторону значение \(|x|\) увеличивается, и функция растёт. Таким образом, область значений функции — интервал \([5; +\infty)\).

6) Рассмотрим функцию \(h(x) = \sqrt{x^2 + 4} — 5\). Подкоренное выражение \(x^2 + 4\) всегда больше или равно 4, так как \(x^2 \geq 0\). Значит, \(\sqrt{x^2 + 4} \geq 2\). Следовательно, \(h(x) \geq 2 — 5 = -3\). При \(x = 0\) значение функции равно \(\sqrt{0 + 4} — 5 = 2 — 5 = -3\). При увеличении модуля \(x\) значение \(\sqrt{x^2 + 4}\) растёт и стремится к бесконечности, значит \(h(x)\) тоже стремится к бесконечности. Область значений функции — интервал \([-3; +\infty)\).

7) Функция \(f(x) = \sqrt{-(x + 1)^2}\) определена, когда подкоренное выражение неотрицательно. Но \(-(x + 1)^2 \leq 0\) для всех \(x\), так как квадрат всегда неотрицателен, а перед ним стоит минус. Чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы \(-(x + 1)^2 = 0\), то есть \((x + 1)^2 = 0\), что возможно только при \(x = -1\). Тогда \(f(-1) = 0\). Таким образом, функция определена только в одной точке и принимает единственное значение 0. Следовательно, область значений функции — множество \(\{0\}\).

8) Функция \(f(x) = \sqrt{x — 3} — \sqrt{3 — x}\) определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны: \(x — 3 \geq 0\) и \(3 — x \geq 0\). Это возможно, если одновременно \(x \geq 3\) и \(x \leq 3\), то есть только при \(x = 3\). При \(x = 3\) имеем \(f(3) = \sqrt{0} — \sqrt{0} = 0\). Следовательно, функция определена только в точке \(x = 3\) и принимает значение 0. Область значений функции — множество \(\{0\}\).