ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 70 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) \(f(x) = x — 8\);

2) \(f(x) = 4 — 3x\);

3) \(h(x) = x^2 — 8x — 9\);

4) \(g(x) = 5x^2 + 8x + 5\).

Найти, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) \( f(x) = \frac{1}{3}x — 8 \);

Пересечение с осью ординат:
\( f(0) = \frac{1}{3} \cdot 0 — 8 = -8; \)

Пересечение с осью абсцисс:
\(\frac{1}{3}x — 8 = 0; \)
\(\frac{1}{3}x = 8; \)
\(x = 24; \)

Ответ: \((0; -8); (24; 0)\).

2) \( g(x) = \frac{5 — 3x}{4x + 1}; \)

Пересечение с осью ординат:
\( g(0) = \frac{5 — 3 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 1} = \frac{5}{1} = 5; \)

Пересечение с осью абсцисс:
\(\frac{5 — 3x}{4x + 1} = 0; \)
\(5 — 3x = 0; \)
\(3x = 5; \)
\(x = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}; \)

Ответ: \((0; 5); \left(1 \frac{2}{3}; 0\right)\).

3) \( h(x) = x^2 — 8x — 9; \)

Пересечение с осью ординат:
\( h(0) = 0^2 — 8 \cdot 0 — 9 = -9; \)

Пересечение с осью абсцисс:
\( x^2 — 8x — 9 = 0; \)
\( D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100, \) тогда:
\( x_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9; \)

Ответ: \((0; -9); (-1; 0); (9; 0)\).

4) \( g(x) = \frac{x^2 — 3}{x^2 + 5}; \)

Пересечение с осью ординат:
\( g(0) = \frac{0^2 — 3}{0^2 + 5} = \frac{-3}{5} = -0,6; \)

Пересечение с осью абсцисс:
\(\frac{x^2 — 3}{x^2 + 5} = 0; \)
\( x^2 — 3 = 0; \)
\( x^2 = 3; \)
\( x = \pm \sqrt{3}; \)

Ответ: \((0; -0,6); (-\sqrt{3}; 0); (\sqrt{3}; 0)\).

Рассмотрим подробно каждую функцию и найдем точки пересечения их графиков с осями координат.

1) Функция \( f(x) = \frac{1}{3}x — 8 \) является линейной. Для нахождения точки пересечения с осью ординат нужно подставить \( x = 0 \), так как ось ординат — это прямая, где абсцисса равна нулю. Подставляем:
\( f(0) = \frac{1}{3} \cdot 0 — 8 = -8 \).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат — это \( (0; -8) \).

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс надо найти значение \( x \), при котором функция равна нулю, то есть решить уравнение:
\( \frac{1}{3}x — 8 = 0 \).
Переносим константу в правую часть:
\( \frac{1}{3}x = 8 \).
Умножая обе части на 3, получаем:
\( x = 24 \).
Следовательно, точка пересечения с осью абсцисс — это \( (24; 0) \).

Ответ: \( (0; -8) \), \( (24; 0) \).

2) Функция \( g(x) = \frac{5 — 3x}{4x + 1} \) — это рациональная дробь. Для нахождения пересечения с осью ординат подставим \( x = 0 \):
\( g(0) = \frac{5 — 3 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 1} = \frac{5}{1} = 5 \).
Точка пересечения с осью ординат — \( (0; 5) \).

Чтобы найти пересечение с осью абсцисс, приравняем функцию к нулю:
\( \frac{5 — 3x}{4x + 1} = 0 \).
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (и знаменатель не равен нулю), значит:
\( 5 — 3x = 0 \).
Решаем:
\( 3x = 5 \),
\( x = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} \).
Точка пересечения с осью абсцисс — \( \left(1 \frac{2}{3}; 0\right) \).

Ответ: \( (0; 5) \), \( \left(1 \frac{2}{3}; 0\right) \).

3) Функция \( h(x) = x^{2} — 8x — 9 \) — квадратичная. Пересечение с осью ординат находится при \( x = 0 \):
\( h(0) = 0^{2} — 8 \cdot 0 — 9 = -9 \).
Точка пересечения с осью ординат — \( (0; -9) \).

Для пересечения с осью абсцисс нужно решить квадратное уравнение:
\( x^{2} — 8x — 9 = 0 \).
Вычислим дискриминант:
\( D = (-8)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \).
Корни уравнения:
\( x_{1} = \frac{8 — \sqrt{100}}{2} = \frac{8 — 10}{2} = -1 \),
\( x_{2} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \).
Точки пересечения с осью абсцисс: \( (-1; 0) \) и \( (9; 0) \).

Ответ: \( (0; -9) \), \( (-1; 0) \), \( (9; 0) \).

4) Функция \( g(x) = \frac{x^{2} — 3}{x^{2} + 5} \) — рациональная дробь. Пересечение с осью ординат при \( x = 0 \):
\( g(0) = \frac{0^{2} — 3}{0^{2} + 5} = \frac{-3}{5} = -0{,}6 \).
Точка пересечения с осью ординат — \( (0; -0{,}6) \).

Для пересечения с осью абсцисс приравниваем числитель к нулю:
\( x^{2} — 3 = 0 \).
Решаем:
\( x^{2} = 3 \),
\( x = \pm \sqrt{3} \).
Точки пересечения с осью абсцисс: \( (-\sqrt{3}; 0) \) и \( (\sqrt{3}; 0) \).

Ответ: \( (0; -0{,}6) \), \( (-\sqrt{3}; 0) \), \( (\sqrt{3}; 0) \).