ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 72 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения и постройте график функции:

1) \( f(x) = \frac{x^2 — 4}{x + 2} \);

2) \( f(x) = \frac{x^2 — 6x + 9}{3 — x} \);

3) \( f(x) = \frac{4x — 20}{x^2 — 5x} \);

4) \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \).

1) Функция \( f(x) = \frac{x^2 — 4}{x + 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x — 2 \).

Область определения: \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) \).

2) Функция \( f(x) = \frac{x^2 — 6x + 9}{3 — x} = \frac{(x-3)^2}{3 — x} = -\frac{(x-3)^2}{x-3} = -(x-3) = -x + 3 \).

Область определения: \( 3 — x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

3) Функция \( f(x) = \frac{4x — 20}{x^2 — 5x} = \frac{4(x-5)}{x(x-5)} = \frac{4}{x} \).

Область определения: \( x^2 — 5x \neq 0 \Rightarrow x(x-5) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 5 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty) \).

4) Функция \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} = 1 \).

Область определения: \( x^2 — 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{x^2 — 4}{x + 2} \). Числитель можно разложить на множители как \( x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2) \). Подставляя это в исходное выражение, получаем \( f(x) = \frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2} \). При условии, что \( x + 2 \neq 0 \), то есть \( x \neq -2 \), можно сократить множитель \( x + 2 \) в числителе и знаменателе, и функция примет вид \( f(x) = x — 2 \).

Область определения функции определяется из условия, что знаменатель не равен нулю: \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \). Следовательно, функция определена для всех значений \( x \), кроме \( -2 \).

Итоговый ответ: \( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) \).

2) Функция задана как \( f(x) = \frac{x^2 — 6x + 9}{3 — x} \). Числитель раскладывается в квадрат двучлена: \( x^2 — 6x + 9 = (x — 3)^2 \). Тогда \( f(x) = \frac{(x — 3)^2}{3 — x} \). Поскольку \( 3 — x = -(x — 3) \), перепишем функцию как \( f(x) = \frac{(x — 3)^2}{-(x — 3)} = -\frac{(x — 3)^2}{x — 3} \).

При \( x \neq 3 \) можно сократить множитель \( x — 3 \) и получить \( f(x) = -(x — 3) = -x + 3 \).

Область определения: \( 3 — x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{4x — 20}{x^2 — 5x} \). Числитель и знаменатель раскладываем на множители: \( 4x — 20 = 4(x — 5) \), \( x^2 — 5x = x(x — 5) \). Подставляем в функцию: \( f(x) = \frac{4(x — 5)}{x(x — 5)} \).

При \( x \neq 5 \) можно сократить множитель \( x — 5 \), получая \( f(x) = \frac{4}{x} \).

Область определения: знаменатель не равен нулю, то есть \( x^2 — 5x \neq 0 \Rightarrow x(x — 5) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 5 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty) \).

4) Функция \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \) равна 1 при условии, что знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен нулю при \( x^2 — 1 = 0 \Rightarrow (x — 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \).

Следовательно, область определения функции: \( x \neq \pm 1 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \).