ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 75 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите нули функции:

1) \(f(x) = 0.3x + 7\);

2) \(f(x) = 0.5x^2 — 3x — 2\);

3) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\);

4) \(f(x) = x^2 — 5x + 4\);

5) \(f(x) = 25 — x^2\);

6) \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\);

7) \(f(x) = x^3 — 2x\).

1) \(0.3x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{0.3} = -\frac{70}{3} = -23\frac{1}{3}\)

2) \(0.5x^2 — 3x — 2 = 0\), дискриминант \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 0.5 \cdot (-2) = 9 + 4 = 13\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 0.5} = 3 \pm \sqrt{13}\)

3) \(\sqrt{x + 2} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

4) \(\frac{x^2 — 5x + 4}{x — 4} = 0 \Rightarrow x^2 — 5x + 4 = 0\), дискриминант \(D = 25 — 16 = 9\)
\(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\), но \(x \neq 4\) (деление на ноль)
Ответ: \(1\)

5) \(\sqrt{25 — x^2} = 0 \Rightarrow 25 — x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5\)

6) \(\sqrt{x^2 + 4} = 0 \Rightarrow x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4\) — нет действительных корней
Ответ: \(\emptyset\)

7) \(x^3 — 2x = x(x^2 — 2) = 0 \Rightarrow x = 0\) или \(x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\)
Ответ: \(0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\)

1) Найти нули функции \(f(x) = 0.3x + 7\).
Решаем уравнение \(0.3x + 7 = 0\).
Переносим 7 в правую часть: \(0.3x = -7\).
Делим обе части на 0.3: \(x = \frac{-7}{0.3} = \frac{-7}{\frac{3}{10}} = -7 \cdot \frac{10}{3} = -\frac{70}{3} = -23\frac{1}{3}\).

Ответ: \(-23\frac{1}{3}\).

2) Найти нули функции \(f(x) = 0.5x^2 — 3x — 2\).
Решаем квадратное уравнение \(0.5x^2 — 3x — 2 = 0\).
Вычисляем дискриминант \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 0.5 \cdot (-2) = 9 + 4 = 13\).
Находим корни по формуле:
\(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 0.5} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{1} = 3 \pm \sqrt{13}\).

Ответ: \(3 \pm \sqrt{13}\).

3) Найти нули функции \(f(x) = \sqrt{x + 2}\).
Решаем уравнение \(\sqrt{x + 2} = 0\).
Подкоренное выражение должно равняться нулю: \(x + 2 = 0\).
Отсюда \(x = -2\).

Ответ: \(-2\).

4) Найти нули функции \(f(x) = \frac{x^2 — 5x + 4}{x — 4}\).
Равенство функции нулю означает: \(\frac{x^2 — 5x + 4}{x — 4} = 0\).
Числитель равен нулю: \(x^2 — 5x + 4 = 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\).
Корни:
\(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\),
\(x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\).
Но знаменатель не должен равняться нулю, значит \(x \neq 4\).

Ответ: \(1\).

5) Найти нули функции \(f(x) = \sqrt{25 — x^2}\).
Решаем уравнение \(\sqrt{25 — x^2} = 0\).
Подкоренное выражение равно нулю: \(25 — x^2 = 0\).
Отсюда \(x^2 = 25\).
Корни: \(x = \pm 5\).

Ответ: \(\pm 5\).

6) Найти нули функции \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\).
Решаем уравнение \(\sqrt{x^2 + 4} = 0\).
Подкоренное выражение равно нулю: \(x^2 + 4 = 0\).
Корней нет, так как \(x^2 = -4\) не имеет решений в действительных числах.

Ответ: \(\emptyset\).

7) Найти нули функции \(f(x) = x^3 — 2x\).
Распишем: \(x^3 — 2x = x(x^2 — 2) = 0\).
Решаем уравнения:
\(x = 0\) или \(x^2 — 2 = 0\).
Отсюда \(x = 0\) или \(x^2 = 2\), значит \(x = \pm \sqrt{2}\).

Ответ: \(0; \pm \sqrt{2}\).