Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 76 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что функция:
1) \(f(x) = -\frac{1}{x}\), убывает на промежутке \((1; +\infty)\);
2) \(f(x) = x^2 — 2x\) возрастает на промежутке \([1; +\infty)\).
1) Докажем убывание функции \(f(x) = -\frac{1}{x}\) на \((1; +\infty)\):
Пусть \(x_2 > x_1 > 1\), тогда
\(f(x_2) — f(x_1) = -\frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1} = \frac{x_2 — x_1}{x_1 x_2}\).
Так как \(x_2 — x_1 > 0\) и \(x_1 x_2 > 0\), то
\(f(x_2) — f(x_1) > 0\), значит \(f(x)\) возрастает, а не убывает.
функция \(f(x) = \frac{4}{x-1}\) убывает на \((1; +\infty)\)
2) Функция \(f(x) = x^2 — 2x\) возрастает на \([1; +\infty)\):
Пусть \(x_2 > x_1 \geq 1\), тогда
\(f(x_2) — f(x_1) = (x_2^2 — 2x_2) — (x_1^2 — 2x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 — 2)\).
При \(x_1, x_2 \geq 1\) имеем \(x_2 + x_1 — 2 \geq 0\), и поскольку \(x_2 — x_1 > 0\),
то \(f(x_2) — f(x_1) \geq 0\), значит функция возрастает.
1) Пусть функция \(f(x) = \frac{4}{x — 1}\). Нужно доказать, что она убывает на промежутке \((1; +\infty)\).
Пусть \(x_2 > x_1 > 1\). Рассмотрим разность значений функции в точках \(x_2\) и \(x_1\):
\(f(x_2) — f(x_1) = \frac{4}{x_2 — 1} — \frac{4}{x_1 — 1} = \frac{4(x_1 — 1) — 4(x_2 — 1)}{(x_2 — 1)(x_1 — 1)} = \frac{4((x_1 — 1) — (x_2 — 1))}{(x_2 — 1)(x_1 — 1)} =\)
\(= \frac{4(x_1 — x_2)}{(x_2 — 1)(x_1 — 1)}\).
Поскольку \(x_2 > x_1\), то \(x_1 — x_2 < 0\). При этом \(x_1 — 1 > 0\) и \(x_2 — 1 > 0\), значит знаменатель положителен.
Следовательно, дробь отрицательна: \(f(x_2) — f(x_1) < 0\), значит \(f(x_2) < f(x_1)\).
Функция убывает на промежутке \((1; +\infty)\), что и требовалось доказать.
2) Пусть функция \(f(x) = x^2 — 2x\). Нужно доказать, что она возрастает на промежутке \([1; +\infty)\).
Пусть \(x_2 > x_1 \geq 1\). Рассмотрим разность значений функции:
\(f(x_2) — f(x_1) = (x_2^2 — 2x_2) — (x_1^2 — 2x_1) = (x_2^2 — x_1^2) — 2(x_2 — x_1) =\)
\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) — 2(x_2 — x_1) = (x_2 — x_1)((x_2 + x_1) — 2)\).
Поскольку \(x_2 > x_1\), то \(x_2 — x_1 > 0\). При \(x_1 \geq 1\) имеем \(x_2 + x_1 \geq 2\), значит \((x_2 + x_1) — 2 \geq 0\).
Следовательно, произведение положительно или равно нулю: \(f(x_2) — f(x_1) \geq 0\), значит \(f(x_2) \geq f(x_1)\).
Функция возрастает на промежутке \([1; +\infty)\), что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.