ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 81 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Каковы координаты вершины параболы:

1) \(y = x^2 + 7\);

2) \(y = (x + 8)^2\);

3) \(y = (x — 6)^2 + 9\)?

1) Вершина параболы \( y = x^2 + 7 = (x + 0)^2 + 7 \) находится в точке \((-0; 7)\), то есть \((0; 7)\).

2) Вершина параболы \( y = (x + 8)^2 + 0 \) находится в точке \((-8; 0)\).

3) Вершина параболы \( y = (x — 6)^2 + 9 \) находится в точке \((6; 9)\).

1) Рассмотрим уравнение параболы \( y = x^2 + 7 \). Это уравнение можно представить в виде \( y = (x + 0)^2 + 7 \), где выражение в скобках показывает смещение по оси \( x \), а число 7 — смещение по оси \( y \). В общем виде парабола задаётся формулой \( y = (x + a)^2 + b \), где вершина находится в точке с координатами \( (-a; b) \). В нашем случае \( a = 0 \), следовательно, вершина находится в точке \( (0; 7) \). Это означает, что парабола сдвинута вверх на 7 единиц, а по горизонтали не смещена.

Далее, чтобы понять, почему вершина именно в этой точке, вспомним, что парабола \( y = x^2 \) имеет вершину в начале координат \( (0; 0) \). При добавлении числа 7 к \( x^2 \) вся графика параболы сдвигается вертикально вверх на 7 единиц, не изменяя форму и расположение по горизонтали. Поэтому вершина перемещается из \( (0; 0) \) в \( (0; 7) \).

Таким образом, вершина параболы \( y = x^2 + 7 \) находится в точке \( (0; 7) \). Это точка минимума функции, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, и график направлен вверх.

2) Рассмотрим уравнение \( y = (x + 8)^2 \). Здесь парабола записана в виде \( y = (x + a)^2 + b \), где \( a = 8 \), \( b = 0 \). Вершина параболы находится в точке \( (-a; b) \), то есть \( (-8; 0) \). Это значит, что парабола сдвинута влево на 8 единиц относительно стандартной параболы \( y = x^2 \), при этом её вершина лежит на оси \( x \).

Чтобы понять смысл смещения, вспомним, что у параболы \( y = x^2 \) вершина в точке \( (0; 0) \). При замене \( x \) на \( x + 8 \) происходит сдвиг графика влево на 8 единиц. Значение \( b = 0 \) означает, что по вертикали смещения нет. Таким образом, вершина находится в точке \( (-8; 0) \).

Так как коэффициент при квадрате положительный, парабола направлена вверх, и точка \( (-8; 0) \) является её минимумом.

3) Рассмотрим уравнение \( y = (x — 6)^2 + 9 \). Его можно переписать в виде \( y = (x + (-6))^2 + 9 \), где \( a = -6 \), \( b = 9 \). Вершина параболы находится в точке \( (-a; b) \), то есть \( (6; 9) \). Это означает, что график параболы сдвинут вправо на 6 единиц и вверх на 9 единиц относительно стандартной параболы \( y = x^2 \).

Сдвиг по оси \( x \) объясняется заменой переменной \( x \) на \( x — 6 \), что перемещает график вправо на 6 единиц. Сдвиг по оси \( y \) на 9 единиц вверх обусловлен добавлением числа 9 к выражению. Коэффициент при \( (x — 6)^2 \) равен 1, значит, парабола направлена вверх и вершина является точкой минимума функции.

Итог: вершина параболы \( y = (x — 6)^2 + 9 \) находится в точке \( (6; 9) \).