ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 85 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = -x^2\). Используя этот график, постройте график функции:

1) \(y = -x^2 — 5\);

2) \(y = 2 — x^2\);

3) \(y = -(x — 1)^2 + 1\).

1) Нули функции: \( (x + 3)^2 — 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 1 \Rightarrow x + 3 = \pm 1 \Rightarrow x_1 = -4, x_2 = -2 \).

2) Функция принимает положительные значения при: \( x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty) \).

3) Промежуток возрастания: \( [-3; +\infty) \), промежуток убывания: \( (-\infty; -3] \).

4) Область значений функции: \( [-1; +\infty) \).

1) Нули функции находятся из уравнения \(y = (x + 3)^2 — 1 = 0\). Приравняем к нулю:
\((x + 3)^2 = 1\).
Извлечём корень:
\(x + 3 = \pm 1\).
Отсюда получаем два корня:
\(x_1 = -4\) и \(x_2 = -2\).

2) Чтобы найти, при каких значениях \(x\) функция принимает положительные значения, решим неравенство:
\((x + 3)^2 — 1 > 0\).
Переносим единицу вправо:
\((x + 3)^2 > 1\).
Корень равен 1, значит:
\(x + 3 > 1\) или \(x + 3 < -1\).
Решая эти неравенства, получаем:
\(x > -2\) или \(x < -4\).
Таким образом, функция положительна при
\(x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty)\).

3) Для определения промежутков возрастания и убывания найдём вершину параболы. Вершина находится в точке \(x = -3\), так как функция записана в виде смещения квадрата.
Функция убывает на промежутке слева от вершины, то есть на \((-\infty; -3]\), и возрастает на промежутке справа от вершины, то есть на \([-3; +\infty)\).

4) Область значений функции — множество всех значений \(y\), которые она может принимать. Минимальное значение функции достигается в вершине:
\(y_{\min} = ( -3 + 3 )^2 — 1 = 0 — 1 = -1\).
Так как парабола направлена вверх, значения \(y\) принимают все числа от \(-1\) до \(+\infty\).
Область значений функции:
\(E(f) = [-1; +\infty)\).