ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 89 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) \(y = x^2 — 10x + 20\);

2) \(y = -x^2 + 3x — 4\);

3) \(y = 0.6x^2 + 7.2x + 22.6\);

4) \(y = -5x^2 — 20x + 6\).

1) \(y = x^2 — 10x + 20\), \(a = 1 > 0\), ветви вверх,
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5\),
\(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 20 — (-10)^2}{4 \cdot 1} = -5\).
Ответ: вверх; (5; -5).

2) \(y = -x^2 + 3x — 4\), \(a = -1 < 0\), ветви вниз,
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1.5\),
\(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-4) — 3^2}{4 \cdot (-1)} = -1.75\).
Ответ: вниз; (1.5; -1.75).

3) \(y = 0.6x^2 + 7.2x + 22.6\), \(a = 0.6 > 0\), ветви вверх,
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{7.2}{2 \cdot 0.6} = -6\),
\(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 0.6 \cdot 22.6 — 7.2^2}{4 \cdot 0.6} = 1\).
Ответ: вверх; (-6; 1).

4) \(y = -5x^2 — 20x + 6\), \(a = -5 < 0\), ветви вниз,
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2 \cdot (-5)} = -2\),
\(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-5) \cdot 6 — (-20)^2}{4 \cdot (-5)} = 26\).
Ответ: вниз; (-2; 26).

1) Рассмотрим функцию \(y = x^2 — 10x + 20\). Для начала определим, в какую сторону направлены ветви параболы. Коэффициент при \(x^2\) равен \(a = 1\). Поскольку \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что график функции имеет минимальное значение в вершине. Чтобы найти координаты вершины, нужно воспользоваться формулой для абсциссы вершины: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Здесь \(b = -10\), подставляем и получаем \(x_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5\). Таким образом, абсцисса вершины равна 5.

Теперь найдем ординату вершины, то есть значение функции в точке \(x_0\). Для этого можно использовать формулу \(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a}\). Подставим значения: \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 20\). Получаем \(y_0 = \frac{4 \cdot 1 \cdot 20 — (-10)^2}{4 \cdot 1} = \frac{80 — 100}{4} = \frac{-20}{4} = -5\). Значит, вершина параболы находится в точке с координатами (5; -5). Это минимальное значение функции, так как ветви направлены вверх.

Таким образом, мы определили, что парабола открывается вверх, и нашли вершину, которая является точкой минимума. Координаты вершины — это важные характеристики графика, позволяющие понять его поведение. В данном случае вершина находится в точке (5; -5), что показывает, что при \(x = 5\) функция достигает своего минимального значения -5.

2) Рассмотрим функцию \(y = -x^2 + 3x — 4\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(a = -1\). Поскольку \(a < 0\), ветви параболы направлены вниз, следовательно, вершина будет точкой максимума функции. Чтобы найти абсциссу вершины, используем формулу \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(b = 3\). Подставляем и получаем \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = -\frac{3}{-2} = 1.5\). Абсцисса вершины равна 1.5.

Для вычисления ординаты вершины применим формулу \(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a}\), где \(a = -1\), \(b = 3\), \(c = -4\). Подставляем: \(y_0 = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-4) — 3^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{16 — 9}{-4} = \frac{7}{-4} = -1.75\). Вершина находится в точке с координатами (1.5; -1.75). Это максимальное значение функции, так как ветви направлены вниз.

Таким образом, график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, и вершина — точка максимума. Координаты вершины показывают, что при \(x = 1.5\) функция достигает максимального значения -1.75. Эти данные важны для анализа поведения функции и построения графика.

3) Рассмотрим функцию \(y = 0.6x^2 + 7.2x + 22.6\). Коэффициент \(a = 0.6\), который положителен, значит ветви параболы направлены вверх. Это указывает на то, что вершина будет точкой минимума функции. Найдем абсциссу вершины по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(b = 7.2\). Подставляем: \(x_0 = -\frac{7.2}{2 \cdot 0.6} = -\frac{7.2}{1.2} = -6\). Абсцисса вершины равна -6.

Для вычисления ординаты вершины используем формулу \(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a}\), где \(a = 0.6\), \(b = 7.2\), \(c = 22.6\). Подставляем значения: \(y_0 = \frac{4 \cdot 0.6 \cdot 22.6 — 7.2^2}{4 \cdot 0.6} = \frac{54.24 — 51.84}{2.4} = \frac{2.4}{2.4} = 1\). Вершина находится в точке (-6; 1), что является минимальным значением функции.

Итак, парабола открыта вверх, и вершина — точка минимума. При \(x = -6\) функция достигает минимального значения 1. Эта информация позволяет точно построить график функции и понять её свойства.

4) Рассмотрим функцию \(y = -5x^2 — 20x + 6\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(a = -5\), и поскольку \(a < 0\), ветви параболы направлены вниз, следовательно, вершина — точка максимума. Найдем абсциссу вершины: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(b = -20\). Подставляем: \(x_0 = -\frac{-20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{-20}{-10} = -2\). Абсцисса вершины равна -2.

Для вычисления ординаты вершины применим формулу \(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a}\), где \(a = -5\), \(b = -20\), \(c = 6\). Подставляем: \(y_0 = \frac{4 \cdot (-5) \cdot 6 — (-20)^2}{4 \cdot (-5)} = \frac{-120 — 400}{-20} = \frac{-520}{-20} = 26\). Вершина находится в точке (-2; 26), что является максимальным значением функции.

Таким образом, парабола направлена вниз, и вершина — точка максимума. При \(x = -2\) функция достигает максимума 26. Эти данные помогают понять форму графика и его ключевые характеристики.