ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 91 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = x^2 — 2x — 3\). Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства \(f(x) < 0\); \(f(x) \geq 0\).

\(f(x) = x^2 — 2x — 3\)

1) Наибольшее значение функции не существует; наименьшее значение \(y_{\min} = -4\).

2) Область значений функции: \(E(f) = [-4; +\infty)\).

3) Промежуток возрастания: \([1; +\infty)\); промежуток убывания: \((-\infty; 1]\).

4) Множество решений неравенства:
\(f(x) < 0\), если \(x \in (-1; 3)\);
\(f(x) \geq 0\), если \(x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\).

1) Функция задана как \(f(x) = x^2 — 2x — 3\). Координаты вершины параболы находятся по формулам:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\),
\(y_0 = f(1) = 1^2 — 2 \cdot 1 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4\).
Вершина параболы — точка минимума, значит наименьшее значение функции \(y_{\min} = -4\). Наибольшего значения функция не имеет, так как парабола направлена вверх и уходит в бесконечность.

2) Область значений функции — множество всех возможных значений \(y\). Поскольку минимум равен \(-4\), а функция возрастает к бесконечности, область значений:
\(E(f) = [-4; +\infty)\).

3) Функция убывает на промежутке от минус бесконечности до вершины включительно:
\((-\infty; 1]\),
и возрастает на промежутке от вершины до плюс бесконечности:
\([1; +\infty)\).

4) Решаем неравенство \(f(x) < 0\). Найдём корни уравнения \(f(x) = 0\):
\(x^2 — 2x — 3 = 0\),
решение — \(x = -1\) и \(x = 3\).
Парабола направлена вверх, значит \(f(x) < 0\) между корнями:
\(x \in (-1; 3)\).
Для \(f(x) \geq 0\) — это все остальные значения:
\(x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\).