ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 92 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = 6x — 2x^2\). Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства \(f(x) > 0\); \(f(x) \leq 0\).

Функция \(f(x) = 6x — 2x^2\).

1) Наибольшее значение функции: \(y_{\text{наиб}} = 4,5\); наименьшее значения не существует.

2) Область значений функции: \(E(f) = (-\infty; 4,5]\).

3) Промежуток возрастания: \((-\infty; 1,5]\); промежуток убывания: \([1,5; +\infty)\).

4) Множество решений неравенств:
\(f(x) > 0\), если \(x \in (0; 3)\);
\(f(x) \leq 0\), если \(x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)\).
Функция \(f(x) = 6x — 2x^2\).

1) Наибольшее значение функции: \(y_{\text{наиб}} = 4,5\); наименьшее значения не существует.

2) Область значений функции: \(E(f) = (-\infty; 4,5]\).

3) Промежуток возрастания: \((-\infty; 1,5]\); промежуток убывания: \([1,5; +\infty)\).

4) Множество решений неравенств:
\(f(x) > 0\), если \(x \in (0; 3)\);
\(f(x) \leq 0\), если \(x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)\).

1) Функция задана формулой \(f(x) = 6x — 2x^2\). Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный.

Для нахождения координат вершины параболы используем формулы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = \frac{6}{4} = 1,5\),
\(y_0 = f(1,5) = 6 \cdot 1,5 — 2 \cdot (1,5)^2 = 9 — 4,5 = 4,5\).

Вершина параболы находится в точке \((1,5; 4,5)\).

2) Для определения области значений функции учитываем, что парабола направлена вниз, значит, максимум равен \(4,5\), а минимального значения нет, так как ветви уходят в минус бесконечность. Значит, область значений:
\(E(f) = (-\infty; 4,5]\).

3) Для промежутков возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке слева от вершины, то есть на \((-\infty; 1,5]\),
Функция убывает на промежутке справа от вершины, то есть на \([1,5; +\infty)\).

4) Для решения неравенств \(f(x) > 0\) и \(f(x) \leq 0\) найдем корни уравнения \(f(x) = 0\):
\(6x — 2x^2 = 0\),
\(2x(3 — x) = 0\),
отсюда \(x = 0\) или \(x = 3\).

Функция положительна между корнями, то есть на интервале \((0; 3)\).
Функция неположительна на объединении интервалов \((-\infty; 0]\) и \([3; +\infty)\).