ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 94 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки параболы \(y = -x^2 + 5x + 5\), у которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 13.

1) Пусть \(x = y = a\), тогда \(a = -a^2 + 5a + 5\), что даёт уравнение \(a^2 — 4a — 5 = 0\).
Дискриминант \(D = 16 + 20 = 36\), корни \(a_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1\), \(a_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5\).
Ответ: \((-1; -1)\), \((5; 5)\).

2) Пусть \(x + y = 13\), тогда \(y = 13 — x\). Подставляем в уравнение параболы:
\(13 — x = -x^2 + 5x + 5\), что даёт \(x^2 — 6x + 8 = 0\).
Дискриминант \(D = 36 — 32 = 4\), корни \(x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\).
Соответствующие \(y\): \(y_1 = 13 — 2 = 11\), \(y_2 = 13 — 4 = 9\).
Ответ: \((2; 11)\), \((4; 9)\).

1) Дана парабола \(y = -x^2 + 5x + 5\). Пусть абсцисса и ордината равны, то есть \(x = y = a\). Тогда подставляем в уравнение параболы:
\(a = -a^2 + 5a + 5\).
Переносим все в левую часть:
\(a^2 — 4a — 5 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).
Находим корни уравнения:
\(a_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1\),
\(a_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5\).
Таким образом, координаты точек:
\((-1; -1)\) и \((5; 5)\).

2) Пусть сумма абсциссы и ординаты равна 13, то есть \(x + y = 13\).
Выразим \(y\):
\(y = 13 — x\).
Подставим в уравнение параболы:
\(13 — x = -x^2 + 5x + 5\).
Переносим все в левую часть:
\(x^2 — 6x + 8 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\).
Находим корни уравнения:
\(x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\),
\(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\).
Находим соответствующие \(y\):
\(y_1 = 13 — 2 = 11\),
\(y_2 = 13 — 4 = 9\).
Таким образом, координаты точек:
\((2; 11)\) и \((4; 9)\).