ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 95 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) \(f(x) = x^2 + 4x — 16\);

2) \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\);

3) \(f(x) = 20 — 12x — 0.4x^2\);

4) \(f(x) = 3x^2 + 7x\).

1) \(f(x) = x^2 + 4x — 16\)
Вершина: \(x = -\frac{4}{2} = -2\), \(f(-2) = -20\)
Область значений: \([-20, +\infty)\)
Возрастание: \((-2, +\infty)\)
Убывание: \((-\infty, -2)\)

2) \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\)
Вершина: \(x = \frac{2}{2} = 1\), \(f(1) = 4\)
Область значений: \((-\infty, 4]\)
Возрастание: \((-\infty, 1)\)
Убывание: \((1, +\infty)\)

3) \(f(x) = 20 — 12x — 0.4x^2\)
Вершина: \(x = -\frac{-12}{2 \cdot (-0.4)} = 15\), \(f(15) = 20 — 12 \cdot 15 — 0.4 \cdot 15^2 = -115\)
Область значений: \((-\infty, 20]\) (проверим знак при вершине)
Проверим вершину: коэффициент при \(x^2\) отрицательный, максимум в вершине, значит
Возрастание: \((-\infty, 15)\)
Убывание: \((15, +\infty)\)

4) \(f(x) = 3x^2 + 7x\)
Вершина: \(x = -\frac{7}{2 \cdot 3} = -\frac{7}{6}\), \(f(-\frac{7}{6}) = 3 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right)^2 + 7 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right) = -\frac{49}{12}\)
Область значений: \([- \frac{49}{12}, +\infty)\)
Возрастание: \(\left(-\frac{7}{6}, +\infty\right)\)
Убывание: \(\left(-\infty, -\frac{7}{6}\right)\)

1) \(f(x) = x^{2} + 4x — 16\)
Функция — квадратная парабола с положительным коэффициентом при \(x^{2}\), значит ветви направлены вверх.
Находим вершину: \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\).
Вычисляем значение функции в вершине: \(f(-2) = (-2)^{2} + 4 \cdot (-2) — 16 = 4 — 8 — 16 = -20\).
Область значений — все значения \(y\), начиная от минимального значения в вершине: \([-20, +\infty)\).
Функция убывает на промежутке слева от вершины: \((-\infty, -2)\), и возрастает справа от вершины: \((-2, +\infty)\).

2) \(f(x) = -x^{2} + 2x + 3\)
Коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный, значит парабола направлена вниз и вершина — максимум.
Вычисляем вершину: \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\).
Значение функции в вершине: \(f(1) = -(1)^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\).
Область значений — все \(y\) от \(-\infty\) до максимума: \((-\infty, 4]\).
Функция возрастает на промежутке \((-\infty, 1)\) и убывает на \((1, +\infty)\).

3) \(f(x) = 20 — 12x — 0.4x^{2}\)
Коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный, значит парабола направлена вниз, вершина — максимум.
Находим вершину: \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-0.4)} = -\frac{-12}{-0.8} = 15\).
Вычисляем значение функции в вершине:
\(f(15) = 20 — 12 \cdot 15 — 0.4 \cdot 15^{2} = 20 — 180 — 0.4 \cdot 225 = 20 — 180 — 90=\)
\( = -250\).
Область значений — все \(y\) меньше или равные максимуму, но максимум отрицательный, значит \((-\infty, 20]\) неверно, максимум \(f(15) = -250\), значит область значений \((-\infty, -250]\).
Функция возрастает на \((-\infty, 15)\) и убывает на \((15, +\infty)\).

4) \(f(x) = 3x^{2} + 7x\)
Парабола с положительным коэффициентом при \(x^{2}\), ветви вверх, вершина — минимум.
Вычисляем вершину: \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot 3} = -\frac{7}{6}\).
Значение функции в вершине:
\(f\left(-\frac{7}{6}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right)^{2} + 7 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right) = 3 \cdot \frac{49}{36} — \frac{49}{6} = \frac{147}{36} — \frac{294}{36} = -\frac{147}{36} = -\frac{49}{12}\).
Область значений: \(\left[-\frac{49}{12}, +\infty\right)\).
Функция убывает на \(\left(-\infty, -\frac{7}{6}\right)\) и возрастает на \(\left(-\frac{7}{6}, +\infty\right)\).