ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 98 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение функции \(y = 3x^2 — 12x + 1\) на промежутке:

1) \([-4; 6]\);

2) \([-7; 1]\);

3) \([4; 10]\).

1) Наименьшее значение на \([-4; 6]\): вершина \(x_0 = \frac{12}{2 \cdot 3} = 2\) входит в отрезок,
\(y(-4) = 97\), \(y(2) = -11\), \(y(6) = 37\),
минимум \(y = -11\).

2) Наименьшее значение на \([-7; 1]\): вершина \(x_0 = 2\) вне отрезка,
\(y(-7) = 232\), \(y(1) = -8\),
минимум \(y = -8\).

3) Наименьшее значение на \([4; 10]\): вершина вне отрезка,
\(y(4) = 1\), \(y(10) = 181\),
минимум \(y = 1\).

1) Дана функция: \( y = 3x^2 — 12x + 1 \). Найдём абсциссу вершины параболы по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 3 \), \( b = -12 \):

\( x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \).

Проверим значения функции на концах отрезка и в вершине:

\( y(-4) = 3 \cdot (-4)^2 — 12 \cdot (-4) + 1 = 3 \cdot 16 + 48 + 1 = 48 + 48 + 1 = 97 \);

\( y(2) = 3 \cdot 2^2 — 12 \cdot 2 + 1 = 3 \cdot 4 — 24 + 1 = 12 — 24 + 1 = -11 \);

\( y(6) = 3 \cdot 6^2 — 12 \cdot 6 + 1 = 3 \cdot 36 — 72 + 1 = 108 — 72 + 1 = 37 \).

Минимальное значение функции на отрезке \([-4; 6]\) равно \(-11\).

2) Для отрезка \([-7; 1]\) вершина \(x_0 = 2\) не входит в отрезок, поэтому проверяем значения функции на концах отрезка:

\( y(-7) = 3 \cdot (-7)^2 — 12 \cdot (-7) + 1 = 3 \cdot 49 + 84 + 1 = 147 + 84 + 1 = 232 \);

\( y(1) = 3 \cdot 1^2 — 12 \cdot 1 + 1 = 3 — 12 + 1 = -8 \).

Минимальное значение функции на отрезке \([-7; 1]\) равно \(-8\).

3) Для отрезка \([4; 10]\) вершина \(x_0 = 2\) не входит в отрезок, проверяем значения функции на концах отрезка:

\( y(4) = 3 \cdot 4^2 — 12 \cdot 4 + 1 = 3 \cdot 16 — 48 + 1 = 48 — 48 + 1 = 1 \);

\( y(10) = 3 \cdot 10^2 — 12 \cdot 10 + 1 = 3 \cdot 100 — 120 + 1 = 300 — 120 + 1 = 181 \).

Минимальное значение функции на отрезке \([4; 10]\) равно \(1\).