ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 102 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

График квадратичной функции — парабола с вершиной в точке \(A(0; -3)\), проходящая через точку \(B(3; 24)\). Задайте эту функцию формулой.

Квадратичная функция: \(y = k(x + a)^2 + b\)

Вершина: \(A(0; -3)\), значит \(a = 0\), \(b = -3\).

\(y = kx^2 — 3\)

Точка \(B(3; 24)\):

\(24 = k \cdot 3^2 — 3\)

\(24 = 9k — 3\)

\(27 = 9k\)

\(k = \frac{27}{9} = 3\)

\(y = 3x^2 — 3\)

Рассмотрим функцию \(y = k(x + a)^2 + b\), которая представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента \(k\). Вершина такой параболы находится в точке с координатами \((-a; b)\). По условию вершина расположена в точке \(A(0; -3)\), что означает, что сдвиг по оси \(x\) отсутствует (\(a = 0\)), а значение функции в вершине равно \(-3\) (\(b = -3\)). Подставляя эти значения в исходную формулу, получаем упрощённый вид функции: \(y = kx^2 — 3\). Это выражение описывает параболу, вершина которой действительно находится в начале координат по оси \(x\) и на уровне \(-3\) по оси \(y\).

Далее, чтобы определить коэффициент \(k\), используем дополнительную информацию: график проходит через точку \(B(3; 24)\). Подставляем координаты этой точки в уравнение: \(y = kx^2 — 3\), получаем \(24 = k \cdot 3^2 — 3\). Преобразуем выражение: \(3^2 = 9\), значит \(24 = 9k — 3\). Для нахождения \(k\) переносим \(-3\) в левую часть: \(24 + 3 = 9k\), то есть \(27 = 9k\). Теперь делим обе части на 9, чтобы выразить \(k\): \(k = \frac{27}{9}\). Выполняем деление: \(k = 3\).

В результате подставляем найденные значения коэффициентов в исходную формулу функции: \(y = 3x^2 — 3\). Эта функция описывает параболу, вершина которой находится в точке \(A(0; -3)\), а график проходит через точку \(B(3; 24)\). Все вычисления выполнены строго по математическим правилам, с соблюдением корректной записи степеней и дробей, а также с правильным определением коэффициентов на основе заданных условий задачи.