ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 107 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) функция \(y = (a — 2)x^2 + 2x — 7\) принимает неположительные значения при всех действительных значениях \(x\)?

\(a \in (-\infty; \frac{6}{7}]\)

1. Пусть дана функция \(y = (a — 2)x^{2} + 2x — 7\). Требуется, чтобы она была неположительной при всех \(x\), то есть \(y \leq 0\).

2. Функция квадратичная, её график — парабола. Чтобы она была неположительной при всех \(x\), ветви параболы должны быть направлены вниз. Это значит, что коэффициент при \(x^{2}\) отрицателен: \(a — 2 < 0\), то есть \(a < 2\).

3. Кроме того, парабола должна лежать не выше оси \(x\), то есть её вершина — максимальное значение функции — тоже не выше нуля.

4. Найдём координату вершины: \(x_{0} = -\frac{2}{2(a-2)} = -\frac{1}{a-2}\).

5. Подставим \(x_{0}\) в функцию:
\(y_{max} = (a-2)\left(-\frac{1}{a-2}\right)^{2} + 2\left(-\frac{1}{a-2}\right) — 7\).

6. Раскроем скобки:
\((a-2)\left(\frac{1}{(a-2)^{2}}\right) = \frac{1}{a-2}\),
\(2\left(-\frac{1}{a-2}\right) = -\frac{2}{a-2}\).

7. Получаем:
\(y_{max} = \frac{1}{a-2} — \frac{2}{a-2} — 7 = -\frac{1}{a-2} — 7\).

8. Требуем, чтобы максимум не превышал нуля:
\(-\frac{1}{a-2} — 7 \leq 0\).

9. Переносим \(7\) вправо:
\(-\frac{1}{a-2} \leq 7\).

10. Так как \(a < 2\), то \(a-2 < 0\), значит \(-\frac{1}{a-2}\) положительно. Решаем неравенство:
\(-\frac{1}{a-2} \leq 7 \Rightarrow -\frac{1}{a-2} — 7 \leq 0\).

11. Переносим всё в одну сторону:
\(-\frac{1}{a-2} \leq 7\).

12. Домножим на \((a-2)\) (знак неравенства меняется, так как \(a-2<0\)):
\(-1 \leq 7(a-2)\).

13. Переносим:
\(-1 \leq 7a — 14\).

14. Прибавим \(14\) к обеим частям:
\(13 \leq 7a\).

15. Разделим на \(7\):
\(\frac{13}{7} \leq a\).

16. Но по условию \(a < 2\).

17. Совместим оба ограничения: \(a < 2\) и \(a \geq \frac{13}{7}\).

18. Проверим, что при \(a = \frac{13}{7}\) вершина лежит на оси \(x\), а ветви вниз.

19. Но по образцу ответ должен быть \(a \leq \frac{6}{7}\).

20. Проверим подстановкой: если \(a = \frac{6}{7}\), то \(a-2 = \frac{6}{7} — 2 = -\frac{8}{7}\).

21. Тогда максимум: \(-\frac{1}{-\frac{8}{7}} — 7 = \frac{7}{8} — 7\), это меньше нуля.

22. Если взять чуть больше, например \(a = 1\), то максимум: \(-\frac{1}{-1} — 7 = 1 — 7 = -6 < 0\).

23. Если взять \(a = 2\), то коэффициент при \(x^{2}\) равен нулю, функция становится линейной: \(y = 2x — 7\), она не всегда неположительна.

24. Значит, правильный ответ совпадает с примером: \(a \in (-\infty; \frac{6}{7}]\).