Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 109 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) находится в точке (2; 5)?
Дано: \(y = x^{2} + px + q\)
Абсцисса вершины: \(x_0 = -\frac{p}{2}\)
\(-\frac{p}{2} = 2\)
\(p = 2 \cdot (-2) = -4\)
Ордината вершины: \(y_0 = q — 4\)
\(y_0 = 5\)
\(q — 4 = 5\)
\(q = 5 + 4 = 9\)
\(p = -4;\ q = 9\)
Парабола задана формулой \(y = x^{2} + px + q\). Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего наименьшего или наибольшего значения (в зависимости от направления ветвей). Для квадратичной функции вида \(y = ax^{2} + bx + c\) координата вершины по оси \(x\) находится по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае коэффициенты \(a = 1\), \(b = p\), поэтому абсцисса вершины будет \(x_0 = -\frac{p}{2}\). По условию задачи вершина параболы находится в точке с координатой по \(x\), равной 2, то есть \(x_0 = 2\). Подставляем это значение в формулу: \(-\frac{p}{2} = 2\). Чтобы найти \(p\), умножаем обе части уравнения на 2: \(-p = 4\), отсюда \(p = -4\).
Теперь определим ординату вершины, то есть значение функции в точке \(x_0 = 2\). Подставим найденное значение \(p = -4\) и абсциссу вершины в исходную формулу параболы: \(y_0 = (2)^{2} + (-4) \cdot 2 + q\). Сначала вычислим квадрат двойки: \((2)^{2} = 4\). Затем умножим \(-4\) на 2: \(-4 \cdot 2 = -8\). Сложим полученные значения: \(4 + (-8) = -4\). Таким образом, ордината вершины выражается через параметр \(q\): \(y_0 = -4 + q\). По условию задачи ордината вершины равна 5, то есть \(y_0 = 5\). Составляем уравнение: \(-4 + q = 5\).
Осталось выразить \(q\) из этого уравнения. Для этого перенесём \(-4\) в правую часть, изменив знак: \(q = 5 + 4\). Складываем: \(5 + 4 = 9\). Таким образом, мы получили значения параметров, при которых вершина параболы будет находиться в заданной точке: \(p = -4;\ q = 9\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.