Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 110 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) имеет вершину в точке \(M(3; 1)\) и проходит через точку \(K(1; 3)\). Найдите значения коэффициентов \(a, b\) и \(c\).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = 3\), значит \(b = -6a\).
\(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a} = 1\), значит \(4ac — (-6a)^2 = 4a\), \(4ac — 36a^2 = 4a\), \(c — 9a = 1\), \(c = 1 + 9a\).
Через точку \(K(1; 3)\): \(3 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\), \(3 = a + b + c\).
\(b = -6a\), \(c = 1 + 9a\), значит \(3 = a — 6a + 1 + 9a\), \(3 = 4a + 1\), \(2 = 4a\), \(a = \frac{2}{4} = 0{,}5\).
\(b = -6 \cdot 0{,}5 = -3\).
\(c = 1 + 9 \cdot 0{,}5 = 1 + 4{,}5 = 5{,}5\).
\(a = 0{,}5\), \(b = -3\), \(c = 5{,}5\).
1. Запишем формулу координаты вершины параболы: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). По условию вершина в точке \(M(3; 1)\), значит \(x_0 = 3\). Получаем уравнение: \(-\frac{b}{2a} = 3\). Домножим обе части на \(-1\): \(\frac{b}{2a} = -3\). Умножим обе части на \(2a\): \(b = -6a\).
2. Найдём значение \(c\) через координату вершины. Формула для \(y_0\): \(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a}\). По условию \(y_0 = 1\), значит \(\frac{4ac — b^2}{4a} = 1\). Умножим обе части на \(4a\): \(4ac — b^2 = 4a\). Подставим \(b = -6a\): \(4ac — (-6a)^2 = 4a\), то есть \(4ac — 36a^2 = 4a\). Перенесём \(4a\) влево: \(4ac — 36a^2 — 4a = 0\). Разделим обе части на \(4a\) (при \(a \neq 0\)): \(c — 9a — 1 = 0\), отсюда \(c = 1 + 9a\).
3. График проходит через точку \(K(1; 3)\). Подставим координаты точки в уравнение параболы: \(y = ax^2 + bx + c\), получаем \(3 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\), то есть \(3 = a + b + c\). Подставим найденные значения \(b = -6a\), \(c = 1 + 9a\): \(3 = a + (-6a) + (1 + 9a)\). Раскроем скобки: \(3 = a — 6a + 1 + 9a\). Преобразуем: \(3 = (a — 6a + 9a) + 1\), \(3 = 4a + 1\).
4. Решим полученное уравнение: \(3 = 4a + 1\). Перенесём 1 влево: \(3 — 1 = 4a\), \(2 = 4a\). Разделим обе части на 4: \(a = \frac{2}{4} = 0{,}5\).
5. Найдём \(b\): \(b = -6a = -6 \cdot 0{,}5 = -3\).
6. Найдём \(c\): \(c = 1 + 9a = 1 + 9 \cdot 0{,}5 = 1 + 4{,}5 = 5{,}5\).
7. Ответ: \(a = 0{,}5\), \(b = -3\), \(c = 5{,}5\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.