ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 112 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — нули функции \(y = -2x^2 — (2a — 1)x + 3a + 2\). При каких значениях \(a\) выполняется неравенство \(x_1 < 2 < x_2\)?

Пусть \(y = -2x^{2} — (2a — 1)x + 3a + 2\).

Ветви параболы направлены вниз, так как \(-2 < 0\).

Корни лежат по разные стороны от числа 2: \(x_{1} < 2 < x_{2}\).

Значит, \(y(2) > 0\):

\(y(2) = -2 \cdot 2^{2} — (2a — 1) \cdot 2 + 3a + 2\)

\(-2 \cdot 4 — (2a — 1) \cdot 2 + 3a + 2\)

\(-8 — 4a + 2 + 3a + 2\)

\(-8 — 4a + 2 + 3a + 2\)

\(-8 — 4a + 3a + 4\)

\(-8 — a + 4\)

\(-a — 4 > 0\)

\(a < -4\)

\(a \in (-\infty; -4)\)

Рассмотрим функцию \(y = -2x^{2} — (2a — 1)x + 3a + 2\) более подробно. Это квадратичная функция, где коэффициенты зависят от параметра \(a\). Старший коэффициент при \(x^{2}\) равен \(-2\), что указывает на ветви параболы, направленные вниз, то есть график функции будет иметь максимум, а не минимум. Коэффициент при \(x\) равен \(-(2a — 1)\), а свободный член — \(3a + 2\). Таким образом, положение вершины параболы и её пересечение с осью \(y\) напрямую зависят от значения параметра \(a\), что важно для анализа корней уравнения и их расположения относительно точки \(x = 2\).

Вычислим значение функции в точке \(x = 2\). Подставим это значение в исходную формулу: \(y(2) = -2 \cdot 2^{2} — (2a — 1) \cdot 2 + 3a + 2\). Раскроем скобки и вычислим каждое слагаемое по отдельности. \(2^{2} = 4\), значит, первое слагаемое будет \( -2 \cdot 4 = -8 \). Второе слагаемое: \( (2a — 1) \cdot 2 = 4a — 2 \), но с минусом перед скобками получаем \( -4a + 2 \). Оставшиеся слагаемые \(3a + 2\) просто переписываем. Складываем все вместе: \( -8 — 4a + 2 + 3a + 2 \). Приведём подобные: \( -8 + 2 + 2 = -4 \), а \( -4a + 3a = -a \). Получаем итоговое выражение: \( y(2) = -a — 4 \). Это значение функции в точке \(x = 2\) зависит только от параметра \(a\), что имеет ключевое значение для дальнейшего анализа.

По условию задачи корни уравнения \(y = 0\) должны располагаться по разные стороны от числа 2. Это означает, что при подстановке \(x = 2\) в функцию, знак значения функции должен быть противоположен знаку старшего коэффициента, поскольку график пересекает ось \(x\) слева и справа от точки 2. Так как старший коэффициент отрицательный (\(-2\)), функция в точке \(x = 2\) должна быть положительной, то есть \( -a — 4 > 0 \). Решим это неравенство: перенесём 4 вправо, получим \( -a > 4 \), затем домножим обе части на \(-1\) (поменяв знак неравенства): \( a < -4 \). Это означает, что параметр \(a\) должен быть меньше \(-4\), чтобы корни квадратичной функции действительно располагались по разные стороны от точки \(x = 2\).

В итоге, множество допустимых значений параметра \(a\) записывается в виде интервала: \( a \in (-\infty; -4) \). Это означает, что любые значения \(a\), меньшие \(-4\), удовлетворяют условию задачи. Если бы \(a\) было равно \(-4\) или больше, условие о расположении корней по разные стороны от точки 2 нарушилось бы. Таким образом, решение задачи полностью зависит от правильного вычисления значения функции в указанной точке и анализа знака этого значения с учётом направления ветвей параболы и требования к расположению корней.