ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 114 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x^2 \leq 16\);

2) \(x^2 > 5\);

3) \(9x^2 \leq 5x\);

4) \(-4x^2 \geq -12x\);

5) \(-7x^2 < -28\);

6) \(0{,}4x^2 < -10x\).

\(x^{2} \leq 16\)
\(x^{2} — 16 \leq 0\)
\((x + 4)(x — 4) \leq 0\)
\(-4 \leq x \leq 4\)
\(x \in [-4; 4]\)

\(x^{2} > 5\)
\(x^{2} — 5 > 0\)
\((x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) > 0\)
\(x < -\sqrt{5}\) или \(x > \sqrt{5}\)
\(x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)\)

\(9x^{2} \leq 5x\)
\(9x^{2} — 5x \leq 0\)
\(x(9x — 5) \leq 0\)
\(0 \leq x \leq \frac{5}{9}\)
\(x \in [0; \frac{5}{9}]\)

\(-4x^{2} \geq -12x\)
\(4x^{2} — 12x \leq 0\)
\(x(x — 3) \leq 0\)
\(0 \leq x \leq 3\)
\(x \in [0; 3]\)

\(-7x^{2} < -28\)
\(7x^{2} — 28 > 0\)
\(x^{2} — 4 > 0\)
\((x + 2)(x — 2) > 0\)
\(x < -2\) или \(x > 2\)
\(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\)

\(0{,}4x^{2} < -10x\)
\(0{,}4x^{2} + 10x < 0\)
\(4x^{2} + 100x < 0\)
\(x^{2} + 25x < 0\)
\(x(x + 25) < 0\)
\(-25 < x < 0\)
\(x \in (-25; 0)\)

1)
Рассмотрим неравенство: \(x^{2} \leq 16\).
Переносим 16 влево: \(x^{2} — 16 \leq 0\).
Разложим на множители: \((x + 4)(x — 4) \leq 0\).
Корни: \(x_{1} = -4\), \(x_{2} = 4\).
Расставим интервалы: при \(x < -4\) выражение положительно, между корнями отрицательно, при \(x > 4\) снова положительно.
Значит, решение: \(-4 \leq x \leq 4\).
Ответ: \(x \in [-4; 4]\).

2)
Рассмотрим неравенство: \(x^{2} > 5\).
Переносим 5 влево: \(x^{2} — 5 > 0\).
Разложим на множители: \((x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) > 0\).
Корни: \(x_{1} = -\sqrt{5}\), \(x_{2} = \sqrt{5}\).
Расставим интервалы: при \(x < -\sqrt{5}\) выражение положительно, между корнями отрицательно, при \(x > \sqrt{5}\) снова положительно.
Значит, решение: \(x < -\sqrt{5}\) или \(x > \sqrt{5}\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)\).

3)
Рассмотрим неравенство: \(9x^{2} \leq 5x\).
Переносим \(5x\) влево: \(9x^{2} — 5x \leq 0\).
Вынесем \(x\) за скобку: \(x(9x — 5) \leq 0\).
Корни: \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \frac{5}{9}\).
Расставим интервалы: при \(x < 0\) выражение положительно, между корнями отрицательно, при \(x > \frac{5}{9}\) снова положительно.
Значит, решение: \(0 \leq x \leq \frac{5}{9}\).
Ответ: \(x \in [0; \frac{5}{9}]\).

4)
Рассмотрим неравенство: \(-4x^{2} \geq -12x\).
Умножим обе части на \(-1\) и поменяем знак неравенства: \(4x^{2} \leq 12x\).
Переносим \(12x\) влево: \(4x^{2} — 12x \leq 0\).
Вынесем \(x\) за скобку: \(x(4x — 12) \leq 0\).
Корни: \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 3\).
Расставим интервалы: при \(x < 0\) выражение положительно, между корнями отрицательно, при \(x > 3\) снова положительно.
Значит, решение: \(0 \leq x \leq 3\).
Ответ: \(x \in [0; 3]\).

5)
Рассмотрим неравенство: \(-7x^{2} < -28\).
Умножим обе части на \(-1\) и поменяем знак неравенства: \(7x^{2} > 28\).
Разделим обе части на 7: \(x^{2} > 4\).
Разложим на множители: \((x + 2)(x — 2) > 0\).
Корни: \(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 2\).
Расставим интервалы: при \(x < -2\) выражение положительно, между корнями отрицательно, при \(x > 2\) снова положительно.
Значит, решение: \(x < -2\) или \(x > 2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\).

6)
Рассмотрим неравенство: \(0{,}4x^{2} < -10x\).
Переносим \(-10x\) влево: \(0{,}4x^{2} + 10x < 0\).
Умножим обе части на 10: \(4x^{2} + 100x < 0\).
Разделим обе части на 4: \(x^{2} + 25x < 0\).
Вынесем \(x\) за скобку: \(x(x + 25) < 0\).
Корни: \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = -25\).
Расставим интервалы: между корнями выражение отрицательно, вне корней положительно.
Значит, решение: \(-25 < x < 0\).
Ответ: \(x \in (-25; 0)\).