ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 115 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \((2x — 1)(x + 3) \geq 4\);

2) \((x + 2)^2 < 13 — (x — 3)^2\);

3) \(\frac{x^2 + x}{8x — 1} < -2\);

4) \(12 — 4x + 5 — \frac{3}{2} < \frac{4x — 3}{6} — \frac{1}{6}\).

1. \((2x — 1)(x + 3) \geq 4\)

Раскроем скобки: \(2x^{2} + 6x — x — 3 \geq 4\), получаем \(2x^{2} + 5x — 3 \geq 4\).

Переносим 4 влево: \(2x^{2} + 5x — 7 \geq 0\).

Находим корни: \(2x^{2} + 5x — 7 = 0\).

\(D = 5^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81\).

\(x_{1} = \frac{-5 — 9}{4} = -3{,}5\), \(x_{2} = \frac{-5 + 9}{4} = 1\).

Парабола вверх, значит ответ: \(x \in (-\infty; -3{,}5] \cup [1; +\infty)\).

2. \((x + 2)^{2} < 13 — (x — 3)^{2}\)

Раскрываем скобки: \(x^{2} + 4x + 4 < 13 — (x^{2} — 6x + 9)\).

\(x^{2} + 4x + 4 < 13 — x^{2} + 6x — 9\).

\(x^{2} + 4x + 4 < -x^{2} + 6x + 4\).

\(2x^{2} — 2x < 0\).

\(x^{2} — x < 0\).

Решаем методом интервалов: нули \(x = 0\), \(x = 1\).

Ответ: \(x \in (0; 1)\).

3. \(\frac{x^{2} + x}{8x — 1} < -2\)

Переносим \(-2\) влево: \(\frac{x^{2} + x}{8x — 1} + 2 < 0\).

Приводим к общему знаменателю: \(\frac{x^{2} + x + 16x — 2}{8x — 1} < 0\).

\(\frac{x^{2} + 17x — 2}{8x — 1} < 0\).

Находим корни числителя: \(x^{2} + 17x — 2 = 0\).

\(D = 17^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 289 + 8 = 297\).

\(x_{1} = \frac{-17 — \sqrt{297}}{2} \approx -17{,}77\), \(x_{2} = \frac{-17 + \sqrt{297}}{2} \approx 0{,}11\).

Знаменатель равен нулю при \(x = \frac{1}{8}\).

Рисуем числовую прямую, отмечаем корни и точку разрыва.

Ответ: \(x \in (2; 2 \frac{1}{3})\).

4. \(12 — 4x + 5 — \frac{3}{2} < \frac{4x — 3}{6} — \frac{1}{6}\)

Считаем слева: \(12 + 5 — \frac{3}{2} = 17 — \frac{3}{2} = \frac{31}{2}\).

Получаем: \(\frac{31}{2} — 4x < \frac{4x — 4}{6}\).

Умножаем обе части на 6: \(93 — 24x < 4x — 4\).

Переносим: \(93 + 4 < 24x + 4x\), \(97 < 28x\), \(x > \frac{97}{28}\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -2] \cup \left(3 \frac{1}{15}; +\infty\right)\).

1. Начнем с того, что данное неравенство \((2x — 1)(x + 3) \geq 4\) представляет собой квадратное неравенство, требующее раскрытия скобок и приведения к стандартному виду. Раскроем скобки: \(2x^{2} + 6x — x — 3 \geq 4\), что упрощается до \(2x^{2} + 5x — 3 \geq 4\). Переносим 4 влево, получаем \(2x^{2} + 5x — 7 \geq 0\). Это уже стандартное квадратное неравенство, где необходимо найти корни соответствующего уравнения \(2x^{2} + 5x — 7 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = 5^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81\). Корни уравнения: \(x_{1} = \frac{-5 — 9}{4} = -3{,}5\), \(x_{2} = \frac{-5 + 9}{4} = 1\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, ветви параболы направлены вверх, следовательно, неравенство выполняется на промежутках, где парабола выше оси абсцисс: \(x \in (-\infty; -3{,}5] \cup [1; +\infty)\). Это объясняется тем, что при \(x\) вне промежутка между корнями выражение \(2x^{2} + 5x — 7\) принимает положительные значения.

Таким образом, окончательный ответ для первого неравенства: \(x \in (-\infty; -3{,}5] \cup [1; +\infty)\). Здесь важно помнить, что точки \(x = -3{,}5\) и \(x = 1\) включаются, так как неравенство нестрогое (\(\geq 0\)), и именно на этих значениях выражение обращается в ноль.

2. Данное неравенство \((x + 2)^{2} < 13 — (x — 3)^{2}\) требует раскрытия квадратов и упрощения. Раскрываем скобки: \(x^{2} + 4x + 4 < 13 — (x^{2} — 6x + 9)\). Преобразуем правую часть: \(13 — x^{2} + 6x — 9\), получаем \(x^{2} + 4x + 4 < -x^{2} + 6x + 4\). Переносим все в одну часть: \(2x^{2} — 2x < 0\), либо \(x^{2} — x < 0\).

Рассмотрим квадратное неравенство \(x^{2} — x < 0\). Найдем нули функции: \(x^{2} — x = 0\), отсюда \(x(x — 1) = 0\), поэтому \(x = 0\) и \(x = 1\). Так как ветви параболы вверх, выражение \(x^{2} — x\) отрицательно между корнями, то есть на промежутке \(x \in (0; 1)\). Этот интервал строго открыт, так как в граничных точках выражение обращается в ноль, а неравенство строгое (\(< 0\)).

Итак, решение второго неравенства: \(x \in (0; 1)\). Это означает, что только значения \(x\) между нулем и единицей удовлетворяют исходному неравенству, и ни одна из граничных точек не входит в ответ.

3. Неравенство \(\frac{x^{2} + x}{8x — 1} < -2\) рациональное, поэтому приводим все к одной стороне: \(\frac{x^{2} + x}{8x — 1} + 2 < 0\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{x^{2} + x + 16x — 2}{8x — 1} < 0\), то есть \(\frac{x^{2} + 17x — 2}{8x — 1} < 0\).

Найдем корни числителя: \(x^{2} + 17x — 2 = 0\). Дискриминант: \(D = 17^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 289 + 8 = 297\). Корни: \(x_{1} = \frac{-17 — \sqrt{297}}{2} \approx -17{,}77\), \(x_{2} = \frac{-17 + \sqrt{297}}{2} \approx 0{,}11\). Знаменатель равен нулю при \(x = \frac{1}{8}\), это точка разрыва функции.

Для решения рационального неравенства отмечаем на числовой прямой корни числителя и знаменателя, определяем знаки на интервалах. Учитываем, что в точке \(x = \frac{1}{8}\) выражение не определено, и на интервалах между корнями и точкой разрыва определяем знак дроби. В ответ включаются те промежутки, где выражение отрицательно. Итоговое решение: \(x \in (-17{,}77; \frac{1}{8}) \cup (0{,}11; +\infty)\).

4. Преобразуем выражение: \(12 — 4x + 5 — \frac{3}{2} < \frac{4x — 3}{6} — \frac{1}{6}\). Сначала складываем числа слева: \(12 + 5 — \frac{3}{2} = 17 — \frac{3}{2} = \frac{31}{2}\), получаем \(\frac{31}{2} — 4x < \frac{4x — 4}{6}\).

Умножаем обе части неравенства на 6 для избавления от дробей: \(6 \cdot \frac{31}{2} — 24x < 4x — 4\), то есть \(93 — 24x < 4x — 4\). Переносим все переменные в одну часть: \(93 + 4 < 24x + 4x\), получаем \(97 < 28x\), отсюда \(x > \frac{97}{28}\).

Таким образом, ответ для этого неравенства: \(x > \frac{97}{28}\), что в десятичном виде приблизительно \(x > 3{,}464\). Значения меньше этой границы не удовлетворяют неравенству, поэтому решение записывается в виде интервала: \(x \in (\frac{97}{28}; +\infty)\).