ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 116 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

1) \(2x^2 + 8x \leq 0\);

2) \(x^2 — 12 < 0\);

3) \(-4x^2 + 13x — 3 \geq 0\);

4) \(6x^2 — 7x + 2 \leq 0\);

5) \(-\frac{1}{2}x^2 — 2x + 9 > 0\);

6) \(x^2 — 2{,}6x + 1{,}2 \leq 0\).

\(2x^2 + 8x \leq 0\)
\(x^2 + 4x \leq 0\)
\(x(x+4) \leq 0\)
\(-4 \leq x \leq 0\)
Ответ: \(-4; -3; -2; -1; 0\)

\(x^2 — 12 < 0\)
\(-\sqrt{12} < x < \sqrt{12}\)
\(3 < \sqrt{12} < 4\)
Ответ: \(-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\)

\(-4x^2 + 13x — 3 \geq 0\)
\(4x^2 — 13x + 3 \leq 0\)
\(D = 13^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 — 48 = 121\)
\(x_1 = \frac{13 — 11}{8} = \frac{2}{8} = 0{,}25\)
\(x_2 = \frac{13 + 11}{8} = \frac{24}{8} = 3\)
\(0{,}25 \leq x \leq 3\)
Ответ: \(1; 2; 3\)

\(6x^2 — 7x + 2 \leq 0\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 — 48 = 1\)
\(x_1 = \frac{7 — 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
\(x_2 = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3}\)
Ответ: \(\emptyset\)

\(-\frac{1}{3}x^2 — 2x + 9 > 0\)
\(x^2 + 6x — 27 < 0\)
\(D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144\)
\(x_1 = \frac{-6 — 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9\)
\(x_2 = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
\(-9 < x < 3\)
Ответ: \(-8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\)

\(x^2 — 2{,}6x + 1{,}2 \leq 0\)
\(5x^2 — 13x + 6 \leq 0\)
\(D = 13^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 — 120 = 49\)
\(x_1 = \frac{13 — 7}{10} = \frac{6}{10} = 0{,}6\)
\(x_2 = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2\)
\(0{,}6 \leq x \leq 2\)
Ответ: \(1; 2\)

1.
Рассмотрим неравенство \(2x^2 + 8x \leq 0\).
Разделим обе части на 2: \(x^2 + 4x \leq 0\).
Вынесем \(x\) за скобку: \(x(x + 4) \leq 0\).
Найдём корни: \(x = 0\) и \(x = -4\).
Рисуем числовую прямую, отмечаем корни, определяем знаки по промежуткам.
Так как ветви параболы вверх, выражение отрицательно между корнями.
Получаем: \(-4 \leq x \leq 0\).
Ответ: \(-4; -3; -2; -1; 0\)

2.
Рассмотрим неравенство \(x^2 — 12 < 0\).
Переносим 12 вправо: \(x^2 < 12\).
Извлекаем корень: \(-\sqrt{12} < x < \sqrt{12}\).
\(\sqrt{12}\) приблизительно равно \(3{,}464\).
Ищем целые значения: \(-3 < x < 3\), но границы не включаются, так как строгое неравенство.
Ответ: \(-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\)

3.
Рассмотрим неравенство \(-4x^2 + 13x — 3 \geq 0\).
Умножим обе части на \(-1\) (знак неравенства меняется): \(4x^2 — 13x + 3 \leq 0\).
Находим дискриминант: \(D = 13^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 — 48 = 121\).
Корни:
\(x_1 = \frac{13 — 11}{8} = \frac{2}{8} = 0{,}25\)
\(x_2 = \frac{13 + 11}{8} = \frac{24}{8} = 3\)
Парабола ветвями вверх, значит выражение отрицательно между корнями:
\(0{,}25 \leq x \leq 3\)
Ответ: \(1; 2; 3\)

4.
Рассмотрим неравенство \(6x^2 — 7x + 2 \leq 0\).
Находим дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 — 48 = 1\).
Корни:
\(x_1 = \frac{7 — 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
\(x_2 = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)
Промежуток: \(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3}\).
Целых значений нет.
Ответ: \(\emptyset\)

5.
Рассмотрим неравенство \(-\frac{1}{3}x^2 — 2x + 9 > 0\).
Умножим обе части на \(-3\) (знак неравенства меняется): \(x^2 + 6x — 27 < 0\).
Находим дискриминант: \(D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-6 — 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9\)
\(x_2 = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Парабола ветвями вверх, выражение отрицательно между корнями:
\(-9 < x < 3\)
Ответ: \(-8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\)

6.
Рассмотрим неравенство \(x^2 — 2{,}6x + 1{,}2 \leq 0\).
Умножим обе части на 5: \(5x^2 — 13x + 6 \leq 0\).
Находим дискриминант: \(D = 13^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 — 120 = 49\).
Корни:
\(x_1 = \frac{13 — 7}{10} = \frac{6}{10} = 0{,}6\)
\(x_2 = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2\)
Парабола ветвями вверх, выражение отрицательно между корнями:
\(0{,}6 \leq x \leq 2\)
Ответ: \(1; 2\)