ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 117 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(y = \frac{\sqrt{x^2 — 2x — 48}}{2x — 1}\);

2) \(y = \sqrt{4x — 16x^2}\);

3) \(y = \frac{\sqrt{x^2 — 5x — 14} — 3}{x^2 — 25}\);

4) \(y = \frac{x + 3}{x — 1} \sqrt{14 — 3x — 2x^2}\);

5) \(y = \frac{2x^2 — 3x + 1}{\sqrt{14 — 3x — 2x^2}}\).

1. Найдём область определения функции \(y = \frac{\sqrt{x^{2} — 2x — 48}}{2x — 1}\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x^{2} — 2x — 48 \geq 0\).
Решим квадратное уравнение: \(x^{2} — 2x — 48 = 0\).
Найдём корни: \(x_{1} = -6\), \(x_{2} = 8\).
Знаки по интервалам: \(x \leq -6\) или \(x \geq 8\).
Знаменатель не должен быть равен нулю: \(2x — 1 \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{1}{2}\).
Точка \(x = \frac{1}{2}\) не входит в найденные промежутки.
Ответ: \(x \in (-\infty; -6] \cup [8; +\infty)\).

2. Найдём область определения функции \(y = \sqrt{4x — 16x^{2}}\).
Подкоренное выражение строго положительно: \(4x — 16x^{2} > 0\).
Вынесем общий множитель: \(4x(1 — 4x) > 0\).
Первый множитель \(x > 0\), второй множитель \(1 — 4x > 0\), то есть \(x < \frac{1}{4}\).
Ответ: \(x \in (0; 0{,}25)\).

3. Найдём область определения функции \(y = \frac{\sqrt{x^{2} — 5x — 14} — 3}{x^{2} — 25}\).
Подкоренное выражение неотрицательно: \(x^{2} — 5x — 14 \geq 0\).
Решим квадратное уравнение: \(x^{2} — 5x — 14 = 0\).
Корни: \(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 7\).
Знаки: \(x \leq -2\) или \(x \geq 7\).
Знаменатель не равен нулю: \(x^{2} — 25 \neq 0\), то есть \(x \neq 5\) и \(x \neq -5\).
Исключаем точки \(x = 5\) и \(x = -5\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -2] \cup [7; +\infty)\).

4. Найдём область определения функции \(y = \frac{x + 3}{\sqrt{14 — 3x — 2x^{2}}} + \frac{x — 1}{2x^{2} — 3x + 1}\).
Подкоренное выражение строго положительно: \(14 — 3x — 2x^{2} > 0\).
Преобразуем: \(2x^{2} + 3x — 14 < 0\).
Решим квадратное уравнение: \(2x^{2} + 3x — 14 = 0\).
Корни: \(x_{1} = -3{,}5\), \(x_{2} = 2\).
Ответ: \(-3{,}5 < x < 2\).
Знаменатель второго дробного выражения не равен нулю: \(2x^{2} — 3x + 1 \neq 0\).
Решим квадратное уравнение: \(2x^{2} — 3x + 1 = 0\).
Корни: \(x_{1} = 0{,}5\), \(x_{2} = 1\).
Исключаем точки \(x = 0{,}5\) и \(x = 1\).
Ответ: \(x \in (-3{,}5; 0{,}5) \cup (0{,}5; 1) \cup (1; 2)\).

5. Найдём область определения функции \(y = \frac{2x^{2} — 3x + 1}{\sqrt{14 — 3x — 2x^{2}}}\).
Подкоренное выражение строго положительно: \(14 — 3x — 2x^{2} > 0\).
Решим квадратное неравенство: \(2x^{2} + 3x — 14 < 0\).
Корни: \(x_{1} = -3{,}5\), \(x_{2} = 2\).
Ответ: \(x \in (-3{,}5; 2)\).

1. Для нахождения области определения функции \(y = \frac{\sqrt{x^{2} — 2x — 48}}{2x — 1}\) требуется, чтобы подкоренное выражение \(x^{2} — 2x — 48\) было неотрицательным, то есть \(x^{2} — 2x — 48 \geq 0\). Решение этого неравенства начинается с нахождения корней уравнения \(x^{2} — 2x — 48 = 0\). Корни находятся по формуле: \(x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1}\). После вычислений получаем \(x_{1} = -6\) и \(x_{2} = 8\). Далее определяем интервалы знаков по схеме: выражение неотрицательно на промежутках \(x \leq -6\) и \(x \geq 8\).

Также необходимо исключить значения, при которых знаменатель обращается в ноль: \(2x — 1 \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{1}{2}\). Проверяем, входит ли эта точка в допустимые интервалы. Значение \(x = \frac{1}{2}\) не попадает ни в \(x \leq -6\), ни в \(x \geq 8\), поэтому его исключать дополнительно не требуется.

В итоге область определения функции складывается из двух промежутков: \(x \in (-\infty; -6]\) и \(x \in [8; +\infty)\). Это означает, что функция определена только для тех значений \(x\), которые либо меньше или равны \(-6\), либо больше или равны \(8\), а все остальные значения \(x\) не входят в область определения.

2. В случае функции \(y = \sqrt{4x — 16x^{2}}\) необходимо, чтобы выражение под корнем было строго положительным: \(4x — 16x^{2} > 0\). Выносим общий множитель: \(4x(1 — 4x) > 0\). Для произведения двух множителей быть положительным требуется, чтобы оба множителя были положительны или оба отрицательны. Первый множитель \(4x > 0\) даёт \(x > 0\), второй множитель \(1 — 4x > 0\) даёт \(x < \frac{1}{4}\).

Пересечение этих условий даёт промежуток \(x \in (0; 0{,}25)\), где \(0{,}25\) — это десятичная запись числа \(\frac{1}{4}\). Таким образом, область определения функции состоит только из тех значений \(x\), которые больше нуля и меньше четверти. При \(x = 0\) или \(x = 0{,}25\) подкоренное выражение обращается в ноль, а при других значениях вне этого интервала оно становится отрицательным, что невозможно для действительных чисел под корнем.

Данный результат означает, что функция определена только на открытом интервале от нуля до четверти, а при всех остальных значениях \(x\) функция не имеет смысла, так как подкоренное выражение либо равно нулю, либо отрицательно.

3. Для функции \(y = \frac{\sqrt{x^{2} — 5x — 14} — 3}{x^{2} — 25}\) область определения определяется сразу двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным (\(x^{2} — 5x — 14 \geq 0\)), а знаменатель не должен равняться нулю (\(x^{2} — 25 \neq 0\)). Для первого условия решаем квадратное уравнение \(x^{2} — 5x — 14 = 0\), корни которого вычисляются по формуле: \(x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}\), что даёт \(x_{1} = -2\) и \(x_{2} = 7\).

Знаки выражения определяются по схеме: \(x \leq -2\) или \(x \geq 7\). Второе условие требует, чтобы \(x \neq 5\) и \(x \neq -5\), так как при этих значениях знаменатель обращается в ноль. Проверяем, попадают ли эти точки в допустимые промежутки: \(x = -5\) входит в промежуток \(x \leq -2\), а \(x = 5\) входит в промежуток \(x \geq 7\) только если \(5 \geq 7\), что неверно, значит только \(x = -5\) и \(x = 5\) нужно исключить из области определения.

В результате область определения функции составляют три промежутка: \(x \in (-\infty; -5)\), \(x \in (-5; -2]\), \(x \in [7; +\infty)\). Это означает, что функция определена для всех \(x\), принадлежащих этим промежуткам, за исключением точек, где знаменатель равен нулю, а подкоренное выражение отрицательно.