ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 119 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения системы неравенств:
1)
\(
\begin{cases}
x^2 — 7x + 6 < 0, \\
x \geq 2;
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
3x^2 — 4x \leq 0, \\
-0,3x + 0,9 > 0;
\end{cases}
\)

3)
\(
\begin{cases}
x^2 — 7x — 18 \geq 0, \\
-3,1 \leq x \leq 15,4;
\end{cases}
\)

4)
\(
\begin{cases}
x^2 + (\sqrt{11} — 3)x — \frac{3}{\sqrt{11}} \leq 0, \\
-x^2 — 1,5x + 7 \geq 0.
\end{cases}
\)

1)
Решаем \(x^{2} — 7x + 6 < 0\).
Находим корни: \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = 6\).
Промежуток: \(1 < x < 6\).
По условию \(x \geq 2\).
Итак, целые: \(2; 3; 4; 5\).

2)
Решаем \(3x^{2} — 4x \leq 0\).
Корни: \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \frac{4}{3}\).
Промежуток: \(0 \leq x \leq \frac{4}{3}\).
Решаем \(-0{,}3x + 0{,}9 > 0\), получаем \(x < 3\).
Пересечение: \(0 \leq x \leq \frac{4}{3}\).
Целые: \(0; 1\).

3)
Решаем \(x^{2} — 7x — 18 \geq 0\).
Корни: \(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 9\).
Промежутки: \(x \leq -2\) или \(x \geq 9\).
По условию \(-3{,}1 \leq x \leq 15{,}4\).
Целые: \(-3; -2; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15\).

4)
Решаем \(x^{2} + (\sqrt{11} — 3)x — 3\sqrt{11} \leq 0\).
Корни: \(x_{1} = -3\), \(x_{2} = \sqrt{11}\).
Промежуток: \(-3 \leq x \leq \sqrt{11}\).
Решаем \(-x^{2} — 1{,}5x + 7 \geq 0\), получаем \(x_{1} = -3{,}5\), \(x_{2} = 2\).
Промежуток: \(-3{,}5 \leq x \leq 2\).
Пересечение: \(-3 \leq x \leq 2\).
Целые: \(-3; -2; -1; 0; 1; 2\).

1)
Рассмотрим неравенство \(x^{2} — 7x + 6 < 0\). Найдём корни квадратного уравнения:
Дискриминант \(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25\).
Корни: \(x_{1} = \frac{7 — 5}{2} = 1\), \(x_{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6\).
Располагаем корни на числовой оси и определяем промежуток, где выражение отрицательно:
Так как ветви параболы вверх, то \(x^{2} — 7x + 6 < 0\) при \(1 < x < 6\).
Дополнительное условие: \(x \geq 2\).
Пересекаем промежутки: \(2 \leq x < 6\).
Целые значения: \(2; 3; 4; 5\).

2)
Рассмотрим неравенство \(3x^{2} — 4x \leq 0\).
Вынесем \(x\) за скобку: \(x(3x — 4) \leq 0\).
Корни: \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \frac{4}{3}\).
Располагаем корни на числовой оси и определяем промежуток:
Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, то выражение не больше нуля между корнями: \(0 \leq x \leq \frac{4}{3}\).
Рассмотрим второе неравенство: \(-0{,}3x + 0{,}9 > 0\).
Переносим: \(0{,}9 > 0{,}3x\), делим на \(0{,}3\): \(x < 3\).
Пересекаем оба условия: \(0 \leq x \leq \frac{4}{3}\) и \(x < 3\).
Целые значения: \(0; 1\).

3)
Рассмотрим неравенство \(x^{2} — 7x — 18 \geq 0\).
Найдём корни квадратного уравнения:
Дискриминант \(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121\).
Корни: \(x_{1} = \frac{7 — 11}{2} = -2\), \(x_{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9\).
Парабола ветвями вверх, значит \(x^{2} — 7x — 18 \geq 0\) при \(x \leq -2\) или \(x \geq 9\).
Дополнительное условие: \(-3{,}1 \leq x \leq 15{,}4\).
Пересекаем промежутки:
Для \(x \leq -2\) имеем \(-3{,}1 \leq x \leq -2\), целые значения: \(-3; -2\).
Для \(x \geq 9\) имеем \(9 \leq x \leq 15{,}4\), целые значения: \(9; 10; 11; 12; 13; 14; 15\).
Все целые: \(-3; -2; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15\).

4)
Рассмотрим неравенство \(x^{2} + (\sqrt{11} — 3)x — 3\sqrt{11} \leq 0\).
Найдём корни:
Сумма коэффициентов: \(a = 1\), \(b = \sqrt{11} — 3\), \(c = -3\sqrt{11}\).
Корни по формуле:
\(x_{1} = -3\), \(x_{2} = \sqrt{11}\).
Так как ветви вверх, выражение не больше нуля на промежутке: \(-3 \leq x \leq \sqrt{11}\).
Рассмотрим второе неравенство: \(-x^{2} — 1{,}5x + 7 \geq 0\).
Умножим на \(-1\): \(x^{2} + 1{,}5x — 7 \leq 0\).
Найдём корни:
\(x_{1} = -3{,}5\), \(x_{2} = 2\).
Промежуток: \(-3{,}5 \leq x \leq 2\).
Пересекаем оба условия: \(-3 \leq x \leq 2\).
Целые значения: \(-3; -2; -1; 0; 1; 2\).